Номер 121, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

121. Решите треугольник по трём сторонам:

1) $a=5 \text{ см}$, $b=6 \text{ см}$, $c=8 \text{ см}$;

2) $a=21 \text{ см}$, $b=17 \text{ см}$, $c=32 \text{ см}$.

1) Даны стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 8$ см. "Решить треугольник" означает найти все его неизвестные элементы. В данном случае это три угла: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые лежат напротив сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Прежде всего, проверим, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника. Сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны:

• $a + b > c \Rightarrow 5 + 6 > 8 \Rightarrow 11 > 8$ (верно)
• $a + c > b \Rightarrow 5 + 8 > 6 \Rightarrow 13 > 6$ (верно)
• $b + c > a \Rightarrow 6 + 8 > 5 \Rightarrow 14 > 5$ (верно)

Так как все неравенства выполняются, треугольник существует.

Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов. Формула для косинуса угла, выраженная через стороны:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения сторон для нахождения угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{6^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 25}{96} = \frac{75}{96} = \frac{25}{32} = 0.78125$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(0.78125) \approx 38.62^\circ \approx 38^\circ37'$

Аналогично найдём угол $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0.6625$

$\beta = \arccos(0.6625) \approx 48.51^\circ \approx 48^\circ31'$

Третий угол $\gamma$ можно найти из свойства о сумме углов треугольника, которая равна $180^\circ$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 38.62^\circ - 48.51^\circ \approx 92.87^\circ \approx 92^\circ52'$

Ответ: $\alpha \approx 38^\circ37'$, $\beta \approx 48^\circ31'$, $\gamma \approx 92^\circ52'$.

2) Даны стороны треугольника: $a = 21$ см, $b = 17$ см, $c = 32$ см. Найдём углы треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Проверим неравенство треугольника: $a + b > c \Rightarrow 21 + 17 > 32 \Rightarrow 38 > 32$. Неравенство выполняется, следовательно, треугольник существует (остальные проверки также верны: $21+32 > 17$ и $17+32 > 21$).

Используем теорему косинусов для нахождения углов.

Найдём угол $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{17^2 + 32^2 - 21^2}{2 \cdot 17 \cdot 32} = \frac{289 + 1024 - 441}{1088} = \frac{872}{1088} = \frac{109}{136}$

$\alpha = \arccos(\frac{109}{136}) \approx 36.73^\circ \approx 36^\circ44'$

Найдём угол $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{21^2 + 32^2 - 17^2}{2 \cdot 21 \cdot 32} = \frac{441 + 1024 - 289}{1344} = \frac{1176}{1344} = \frac{7}{8}$

$\beta = \arccos(\frac{7}{8}) \approx 28.96^\circ \approx 28^\circ57'$

Найдём угол $\gamma$ из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 36.73^\circ - 28.96^\circ \approx 114.31^\circ \approx 114^\circ19'$

Ответ: $\alpha \approx 36^\circ44'$, $\beta \approx 28^\circ57'$, $\gamma \approx 114^\circ19'$.