Номер 124, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

124. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:

1) $a = 23 \text{ см}, c = 30 \text{ см}, \gamma = 102^\circ$;

2) $a = 18 \text{ см}, b = 25 \text{ см}, \alpha = 36^\circ$.

1) Даны стороны треугольника $a = 23$ см, $c = 30$ см и угол $\gamma = 102^\circ$, который является противолежащим стороне $c$.

Задача "решить треугольник" заключается в нахождении всех его неизвестных элементов: в данном случае, стороны $b$ и углов $\alpha$ и $\beta$.

1. Для нахождения угла $\alpha$, противолежащего стороне $a$, воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$

Отсюда выразим $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\gamma}{c} = \frac{23 \cdot \sin(102^\circ)}{30}$

Вычислим значение: $\sin(102^\circ) \approx 0.9781$.

$\sin\alpha \approx \frac{23 \cdot 0.9781}{30} \approx \frac{22.4963}{30} \approx 0.7499$

Угол $\alpha$ можно найти как $\alpha = \arcsin(0.7499) \approx 48.58^\circ$.

Теоретически, существует и второй угол $\alpha' = 180^\circ - 48.58^\circ = 131.42^\circ$, для которого синус имеет то же значение. Однако, сумма углов $\alpha' + \gamma$ в таком случае была бы $131.42^\circ + 102^\circ = 233.42^\circ$, что превышает $180^\circ$ и невозможно для треугольника. Следовательно, для угла $\alpha$ существует единственное решение.

Округлим полученное значение: $\alpha \approx 48.6^\circ$.

2. Зная два угла, найдем третий угол $\beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 48.6^\circ - 102^\circ = 29.4^\circ$

3. Для нахождения стороны $b$ снова применим теорему синусов:

$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

$b = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} \approx \frac{30 \cdot \sin(29.4^\circ)}{\sin(102^\circ)} \approx \frac{30 \cdot 0.4909}{0.9781} \approx \frac{14.727}{0.9781} \approx 15.1$ см.

Ответ: $b \approx 15.1$ см, $\alpha \approx 48.6^\circ$, $\beta \approx 29.4^\circ$.

2) Даны стороны треугольника $a = 18$ см, $b = 25$ см и угол $\alpha = 36^\circ$, который является противолежащим стороне $a$.

Решение: Необходимо найти сторону $c$ и углы $\beta$ и $\gamma$.

1. Найдем угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$

Выразим $\sin\beta$:

$\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a} = \frac{25 \cdot \sin(36^\circ)}{18}$

Вычислим значение: $\sin(36^\circ) \approx 0.5878$.

$\sin\beta \approx \frac{25 \cdot 0.5878}{18} \approx \frac{14.695}{18} \approx 0.8164$

Поскольку $0 < \sin\beta < 1$, существует два возможных значения для угла $\beta$. Так как данная сторона $a$ (противолежащая данному углу $\alpha$) меньше другой данной стороны $b$ ($18 < 25$), то в данном случае (SSA) существуют два возможных решения для треугольника. Рассмотрим оба.

Возможные значения для $\beta$:

$\beta_1 = \arcsin(0.8164) \approx 54.7^\circ$

$\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \approx 180^\circ - 54.7^\circ = 125.3^\circ$

Случай 1: $\beta_1 \approx 54.7^\circ$

Проверим сумму углов: $\alpha + \beta_1 = 36^\circ + 54.7^\circ = 90.7^\circ$. Так как $90.7^\circ < 180^\circ$, такое решение возможно.

Найдем третий угол $\gamma_1$:

$\gamma_1 = 180^\circ - \alpha - \beta_1 \approx 180^\circ - 36^\circ - 54.7^\circ = 89.3^\circ$

Найдем третью сторону $c_1$, используя теорему синусов:

$\frac{c_1}{\sin\gamma_1} = \frac{a}{\sin\alpha}$

$c_1 = \frac{a \cdot \sin\gamma_1}{\sin\alpha} \approx \frac{18 \cdot \sin(89.3^\circ)}{\sin(36^\circ)} \approx \frac{18 \cdot 0.9999}{0.5878} \approx 30.6$ см.

Случай 2: $\beta_2 \approx 125.3^\circ$

Проверим сумму углов: $\alpha + \beta_2 = 36^\circ + 125.3^\circ = 161.3^\circ$. Так как $161.3^\circ < 180^\circ$, это решение также возможно.

Найдем третий угол $\gamma_2$:

$\gamma_2 = 180^\circ - \alpha - \beta_2 \approx 180^\circ - 36^\circ - 125.3^\circ = 18.7^\circ$

Найдем третью сторону $c_2$:

$\frac{c_2}{\sin\gamma_2} = \frac{a}{\sin\alpha}$

$c_2 = \frac{a \cdot \sin\gamma_2}{\sin\alpha} \approx \frac{18 \cdot \sin(18.7^\circ)}{\sin(36^\circ)} \approx \frac{18 \cdot 0.3206}{0.5878} \approx 9.8$ см.

Ответ: задача имеет два решения.
1. $\beta_1 \approx 54.7^\circ$, $\gamma_1 \approx 89.3^\circ$, $c_1 \approx 30.6$ см.
2. $\beta_2 \approx 125.3^\circ$, $\gamma_2 \approx 18.7^\circ$, $c_2 \approx 9.8$ см.