Номер 122, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

122. Решите треугольник, в котором:

1) $a = 10 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $\beta = 10^\circ$, угол $\alpha$ – острый;

2) $a = 10 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $\beta = 10^\circ$, угол $\alpha$ – тупой.

Для решения треугольника необходимо найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам нужно найти угол α, угол γ и сторону c.

Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $.

Подставим известные значения в соотношение для сторон a и b:

$ \frac{10}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 10°} $

Отсюда выразим $ \sin \alpha $: $ \sin \alpha = \frac{10 \cdot \sin 10°}{3} $

Используя калькулятор, найдем приближенное значение $ \sin 10° \approx 0.1736 $.

$ \sin \alpha \approx \frac{10 \cdot 0.1736}{3} \approx 0.5787 $

По условию, угол α является острым. Следовательно, мы можем найти его значение, вычислив арксинус:

$ \alpha = \arcsin(0.5787) \approx 35.4° $

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Найдем угол γ:

$ \gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 35.4° - 10° = 134.6° $

Теперь найдем длину стороны c, снова применив теорему синусов:

$ \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} $

Выразим c:

$ c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} \approx \frac{3 \cdot \sin(134.6°)}{\sin 10°} \approx \frac{3 \cdot 0.712}{0.1736} \approx 12.3 $ см.

Ответ: $ \alpha \approx 35.4°, \gamma \approx 134.6°, c \approx 12.3 $ см.

Условия задачи аналогичны первому пункту, за исключением того, что угол α является тупым.

Как мы уже выяснили в пункте 1, $ \sin \alpha \approx 0.5787 $.

Уравнение вида $ \sin x = k $, где $ 0 < k < 1 $, на интервале (0°, 180°) имеет два решения: острое $ x_1 = \arcsin(k) $ и тупое $ x_2 = 180° - \arcsin(k) $.

Острое значение угла мы нашли в первом пункте: $ \alpha_{острый} \approx 35.4° $.

Так как по условию угол α — тупой, его значение будет:

$ \alpha = 180° - \alpha_{острый} \approx 180° - 35.4° = 144.6° $

Теперь найдем угол γ, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:

$ \gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 144.6° - 10° = 25.4° $

Наконец, найдем длину стороны c по теореме синусов:

$ \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} $

$ c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} \approx \frac{3 \cdot \sin(25.4°)}{\sin 10°} \approx \frac{3 \cdot 0.4289}{0.1736} \approx 7.4 $ см.

Ответ: $ \alpha \approx 144.6°, \gamma \approx 25.4°, c \approx 7.4 $ см.