Номер 120, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

120. Решите треугольник по трём сторонам:

1) $a = 4 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$, $c = 7 \text{ см}$;

2) $a = 26 \text{ см}$, $b = 19 \text{ см}$, $c = 42 \text{ см}$.

Решить треугольник по трём сторонам означает найти три его угла. Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим углы, противолежащие сторонам $a, b, c$, как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

Теорема косинусов для нахождения углов:
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

1) $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см;

Сначала проверим, существует ли треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$4 + 5 = 9 > 7$
$4 + 7 = 11 > 5$
$5 + 7 = 12 > 4$
Все неравенства выполняются, следовательно, треугольник существует.
Теперь найдем его углы.
$\cos \alpha = \frac{5^2 + 7^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35} \approx 0.8286$
$\alpha = \arccos(\frac{29}{35}) \approx 34.05^\circ$

$\cos \beta = \frac{4^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 25}{56} = \frac{40}{56} = \frac{5}{7} \approx 0.7143$
$\beta = \arccos(\frac{5}{7}) \approx 44.42^\circ$

$\cos \gamma = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -0.2$
$\gamma = \arccos(-0.2) \approx 101.53^\circ$

Проверка: $34.05^\circ + 44.42^\circ + 101.53^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны примерно $34.05^\circ, 44.42^\circ, 101.53^\circ$.

2) $a = 26$ см, $b = 19$ см, $c = 42$ см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника. Достаточно проверить, что сумма длин двух меньших сторон больше длины третьей, наибольшей стороны.
$26 + 19 = 45 > 42$
Неравенство выполняется, значит, треугольник существует.
Найдем его углы.
$\cos \alpha = \frac{19^2 + 42^2 - 26^2}{2 \cdot 19 \cdot 42} = \frac{361 + 1764 - 676}{1596} = \frac{1449}{1596} \approx 0.9079$
$\alpha = \arccos(\frac{1449}{1596}) \approx 24.79^\circ$

$\cos \beta = \frac{26^2 + 42^2 - 19^2}{2 \cdot 26 \cdot 42} = \frac{676 + 1764 - 361}{2184} = \frac{2079}{2184} \approx 0.9519$
$\beta = \arccos(\frac{2079}{2184}) \approx 17.86^\circ$

$\cos \gamma = \frac{26^2 + 19^2 - 42^2}{2 \cdot 26 \cdot 19} = \frac{676 + 361 - 1764}{988} = \frac{-727}{988} \approx -0.7358$
$\gamma = \arccos(\frac{-727}{988}) \approx 137.35^\circ$

Проверка: $24.79^\circ + 17.86^\circ + 137.35^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны примерно $24.79^\circ, 17.86^\circ, 137.35^\circ$.