Номер 1, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Что значит решить треугольник?

«Решить треугольник» — это задача по нахождению всех его шести основных элементов (трёх сторон и трёх углов) по трём известным элементам, если хотя бы один из них — сторона. Пусть стороны треугольника обозначаются как $a, b, c$, а противолежащие им углы — как $\alpha, \beta, \gamma$. Для решения треугольника необходимо найти значения всех шести величин: $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$.

Для нахождения неизвестных элементов используются фундаментальные теоремы геометрии и тригонометрии:

• Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, всегда можно найти третий: $ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) $.
• Теорема синусов. Устанавливает связь между сторонами и противолежащими им углами. Она позволяет найти неизвестную сторону или угол, если известна пара «сторона и противолежащий угол». Формула: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $
• Теорема косинусов. Является обобщением теоремы Пифагора. Она позволяет найти третью сторону, если известны две другие и угол между ними, или найти любой угол, если известны все три стороны. Формула для стороны $a$: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha $

В зависимости от набора известных данных, выделяют несколько основных типов задач на решение треугольников:

1. Решение по стороне и двум углам (например, даны $a, \beta, \gamma$).
2. Решение по двум сторонам и углу между ними (например, даны $a, b, \gamma$).
3. Решение по трём сторонам (даны $a, b, c$).
4. Решение по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (например, даны $a, b, \alpha$).

Таким образом, решение треугольника — это последовательное применение указанных теорем для вычисления всех неизвестных его характеристик.

Ответ: Решить треугольник — значит найти длины всех его трёх сторон и величины всех его трёх углов по трём известным элементам, из которых хотя бы один является стороной.