Номер 110, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

110. Дороги, соединяющие сёла A, B и C (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села A в село C заасфальтирована, а дороги из села A в село B и из села B в село C — грунтовые. Дороги, ведущие из села A в сёла B и C, образуют угол $15^{\circ}$, а дороги, ведущие из села B в сёла A и C, — угол $5^{\circ}$. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села A в село B?

Рис. 22

Для того чтобы определить, какой маршрут быстрее, необходимо сравнить время в пути для каждого из возможных вариантов.

Обозначим сёла буквами A, B, C. Согласно условию, они образуют треугольник ABC. Возможны два маршрута из села А в село В:

1. Прямой маршрут по грунтовой дороге A → B.
2. Маршрут через село С: по асфальтированной дороге A → C, а затем по грунтовой дороге C → B.

Пусть $v$ — скорость движения автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость движения по асфальтированной дороге равна $2v$.

Длины дорог обозначим как $AB$, $BC$ и $AC$. Они являются сторонами треугольника ABC.

Рассчитаем время в пути для каждого маршрута:

1. Время $t_1$ для прямого маршрута A → B:

$$ t_1 = \frac{AB}{v} $$

2. Время $t_2$ для маршрута A → C → B складывается из времени движения по участкам AC и CB:

$$ t_{AC} = \frac{AC}{2v} $$

$$ t_{CB} = \frac{BC}{v} $$

$$ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{AC + 2BC}{2v} $$

Сравним время $t_1$ и $t_2$:

Чтобы сравнить $t_1 = \frac{AB}{v}$ и $t_2 = \frac{AC + 2BC}{2v}$, мы можем сравнить выражения $2v \cdot t_1$ и $2v \cdot t_2$, так как $2v > 0$. Сравниваем $2AB$ и $AC + 2BC$.

Для нахождения соотношения между сторонами треугольника ABC используем его углы и теорему синусов.

Из условия задачи известны углы:

• Угол между дорогами из А в В и из А в С: $\angle BAC = 15^\circ$.
• Угол между дорогами из В в А и из В в С: $\angle ABC = 5^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол:

$$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 15^\circ - 5^\circ = 160^\circ $$

По теореме синусов для треугольника ABC:

$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} $$

$$ \frac{AC}{\sin 5^\circ} = \frac{BC}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 160^\circ} $$

Выразим длины сторон $AC$ и $BC$ через $AB$:

$$ AC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} $$

$$ BC = AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$

Подставим эти выражения в $AC + 2BC$:

$$ AC + 2BC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} + 2 \cdot AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$

Теперь сравним $2AB$ и $AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$. Разделив обе части на $AB$ (так как $AB > 0$), сравним $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$.

Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:

$$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $$

Сравнение сводится к сравнению $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ}$, или, что то же самое, сравнению $2\sin 20^\circ$ и $\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ$.

Рассмотрим разность $2\sin 20^\circ - (\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ)$:

$$ 2\sin 20^\circ - 2\sin 15^\circ - \sin 5^\circ = 2(\sin 20^\circ - \sin 15^\circ) - \sin 5^\circ $$

Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$$ \sin 20^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos\left(\frac{20^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-15^\circ}{2}\right) = 2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) $$

Тогда разность равна:

$$ 2(2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ)) - \sin 5^\circ = 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - \sin(2 \cdot 2.5^\circ) $$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$$ 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - 2\sin(2.5^\circ)\cos(2.5^\circ) = 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) $$

Оценим знак этого выражения. Множитель $2\sin(2.5^\circ) > 0$, так как угол $2.5^\circ$ находится в первой четверти. Рассмотрим знак второго множителя $(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ))$. Функция косинуса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, поэтому $\cos(17.5^\circ) < \cos(2.5^\circ)$. Однако $2\cos(17.5^\circ) > 2\cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. А $\cos(2.5^\circ) < \cos(0^\circ) = 1$. Поскольку $1.732 > 1$, то $2\cos(17.5^\circ) > \cos(2.5^\circ)$, и следовательно, $2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ) > 0$.

Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно:

$$ 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) > 0 $$

Это означает, что:

$$ 2\sin 20^\circ > \sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ $$

Умножая обе части на положительное число $\frac{1}{\sin 20^\circ}$, получаем:

$$ 2 > \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ} $$

Возвращаясь к сравнению длин, это значит:

$$ 2AB > AC + 2BC $$

Теперь вернемся к сравнению времени:

$$ 2v \cdot t_1 > 2v \cdot t_2 \implies t_1 > t_2 $$

Время в пути по прямому маршруту A → B ($t_1$) больше, чем время в пути по маршруту A → C → B ($t_2$). Следовательно, чтобы добраться из села А в село В как можно скорее, водителю следует выбрать маршрут через село С.

Ответ: Водителю надо выбрать маршрут из села А в село В через село С (А → C → B).