Номер 107, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

107. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $m$ и образует со сторонами $AB$ и $AC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите стороны $AB$ и $AC$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом удвоения медианы. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $AM$. По условию, $AM = m$, $\angle BAM = \alpha$, $\angle CAM = \beta$.

1. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Таким образом, $AD = 2m$. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$.

2. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой стороны $BC$ ($BM = MC$). По нашему построению, $M$ также является серединой отрезка $AD$ ($AM = MD$). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

3. Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны и параллельны. Значит, $AC = BD$ и $AC \parallel BD$.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике:

• Сторона $AD = AM + MD = m + m = 2m$.
• Угол $\angle BAD = \angle BAM = \alpha$.
• Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а $AD$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle CAM$ и $\angle BDA$ равны. Следовательно, $\angle BDA = \angle CAM = \beta$.

5. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle BDA) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

6. Теперь, зная все углы и одну сторону треугольника $ABD$, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти длины сторон $AB$ и $BD$ (которая равна $AC$).

Теорема синусов для $\triangle ABD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Так как $BD = AC$ и $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

7. Из этого равенства находим искомые стороны $AB$ и $AC$:

Из пропорции $\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$ получаем:

$AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из пропорции $\frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$ получаем:

$AC = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$, $AC = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$.