Номер 101, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

101. Трасса для велосипедистов имеет форму треугольника, два угла которого равны $50^\circ$ и $100^\circ$. Меньшую сторону этого треугольника один из велосипедистов проезжает за 1 ч. За какое время он проедет всю трассу? Ответ представьте в часах с точностью до десятых.

Для решения задачи сначала найдем третий угол треугольника, форма которого соответствует трассе. Сумма углов в треугольнике составляет $180°$. Зная два угла, $50°$ и $100°$, находим третий:

$180° - 50° - 100° = 30°$

Таким образом, углы треугольника равны $30°$, $50°$ и $100°$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Самый маленький угол — $30°$, следовательно, сторона, лежащая напротив него, является наименьшей. По условию, велосипедист проезжает эту сторону за 1 час.

Для нахождения длин остальных сторон воспользуемся теоремой синусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а противолежащие им углы — $\alpha, \beta, \gamma$. Теорема синусов гласит:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Поскольку скорость велосипедиста постоянна, время, затраченное на проезд каждой стороны ($t_a, t_b, t_c$), прямо пропорционально ее длине. Поэтому мы можем записать аналогичное соотношение для времени:

$\frac{t_a}{\sin \alpha} = \frac{t_b}{\sin \beta} = \frac{t_c}{\sin \gamma}$

Пусть $t_c$ — время проезда меньшей стороны (напротив угла $\gamma=30°$), $t_b$ — время проезда стороны напротив угла $\beta=50°$, и $t_a$ — время проезда стороны напротив угла $\alpha=100°$. Нам дано, что $t_c = 1$ час.

Найдем время проезда двух других сторон:

$t_a = t_c \cdot \frac{\sin 100°}{\sin 30°} = 1 \cdot \frac{\sin 100°}{\sin 30°}$
$t_b = t_c \cdot \frac{\sin 50°}{\sin 30°} = 1 \cdot \frac{\sin 50°}{\sin 30°}$

Общее время $T$, необходимое для проезда всей трассы, равно сумме времен, затраченных на каждую сторону:

$T = t_a + t_b + t_c = \frac{\sin 100°}{\sin 30°} + \frac{\sin 50°}{\sin 30°} + 1$

Подставим значения синусов ($\sin 30° = 0.5$, $\sin 50° \approx 0.7660$, $\sin 100° \approx 0.9848$):

$T \approx \frac{0.9848}{0.5} + \frac{0.7660}{0.5} + 1 \approx 1.9696 + 1.532 + 1 \approx 4.5016$

Округлив результат до десятых, получаем 4.5 часа.

Ответ: 4.5