Номер 99, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

99. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашем случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 10$ см и основанием $c = 16$ см.

1. Найдем площадь треугольника (S).

Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $16 / 2 = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и половиной основания (катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + 8^2 = 10^2$

$h^2 + 64 = 100$

$h^2 = 100 - 64 = 36$

$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

2. Найдем радиус описанной окружности (R).

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 16}{4 \cdot 48} = \frac{1600}{192}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{1600}{192} = \frac{100 \cdot 16}{12 \cdot 16} = \frac{100}{12} = \frac{25 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{25}{3}$ см.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби:

$R = 8\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см или $8\frac{1}{3}$ см.