Номер 95, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

95. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $\angle AMC = \varphi$. Найдите отрезок $CM$, если $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle ACB = \gamma$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Сначала рассмотрим треугольник $ABC$, а затем треугольник $AMC$.

1. Нахождение стороны AC в треугольнике ABC.

В треугольнике $ABC$ известны сторона $AB = c$ и два угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол, $\angle B$, равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle ACB) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma)) = \sin(\alpha + \gamma)$. Уравнение принимает вид:

$\frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Отсюда находим длину стороны $AC$:

$AC = \frac{c \cdot \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

2. Нахождение отрезка CM в треугольнике AMC.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В нем известны угол $\angle A = \alpha$, угол $\angle AMC = \varphi$ и длина стороны $AC$, которую мы нашли в предыдущем шаге.

Применим теорему синусов для треугольника $AMC$:

$\frac{CM}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

Подставим известные значения:

$\frac{CM}{\sin(\alpha)} = \frac{AC}{\sin(\varphi)}$

Выразим искомый отрезок $CM$:

$CM = \frac{AC \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\varphi)}$

Теперь подставим в это выражение найденную ранее длину стороны $AC$:

$CM = \frac{\frac{c \cdot \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)} \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\varphi)}$

Упрощая дробь, получаем окончательную формулу:

$CM = \frac{c \sin(\alpha) \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma) \sin(\varphi)}$

Ответ: $CM = \frac{c \sin(\alpha) \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma) \sin(\varphi)}$