Страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

88.Существует ли треугольник ABC такой, что $ \sin A = 0.4 $, $ AC = 18 $ см, $ BC = 6 $ см? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить, существует ли такой треугольник, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Теорема синусов для треугольника $ABC$ гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны.

Формула теоремы синусов: $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ В нашем случае сторонами являются $BC$ и $AC$, а противолежащие им углы — $A$ и $B$ соответственно. Обозначим $BC = a = 6$ см и $AC = b = 18$ см.

Согласно теореме синусов, должно выполняться соотношение: $$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $$ Подставим известные нам значения в это равенство: $$ \frac{6}{0,4} = \frac{18}{\sin B} $$ Теперь выразим из этого уравнения $\sin B$: $$ \sin B = \frac{18 \cdot 0,4}{6} $$ Выполним вычисления: $$ \sin B = 3 \cdot 0,4 = 1,2 $$ Однако, по определению синуса, его значение для любого угла не может быть больше 1. Максимальное значение синуса равно 1. Поскольку мы получили, что $\sin B$ должен быть равен 1,2, что является невозможным значением для синуса угла, то треугольника с заданными параметрами не существует.

Ответ: нет, такой треугольник не существует. Согласно теореме синусов, для такого треугольника синус угла $B$ должен был бы быть равен 1,2, что невозможно, так как значение синуса не может превышать 1.

89. В треугольнике $DEF$ известно, что $DE = 8 \text{ см}$, $\sin F = 0,16$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $DEF$.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся следствием из теоремы синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

Формула выглядит следующим образом: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $ где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

В нашем случае дан треугольник $DEF$. Известна длина стороны $DE = 8$ см и синус противолежащего ей угла $F$, то есть $\sin F = 0,16$.

Применим формулу к нашим данным: $ \frac{DE}{\sin F} = 2R $

Подставим известные значения в формулу: $ \frac{8}{0,16} = 2R $

Вычислим значение левой части уравнения: $ 2R = \frac{8}{0,16} = \frac{800}{16} = 50 $

Теперь, зная, что $2R = 50$, найдем радиус $R$: $ R = \frac{50}{2} = 25 $

Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника $DEF$, равен 25 см.

Ответ: 25 см.

90. Радиус окружности, описанной около треугольника MKP, равен 5 см, $ \sin M = 0.7 $. Найдите сторону KP.

Для нахождения стороны треугольника, зная радиус описанной окружности и синус противолежащего угла, используется следствие из теоремы синусов (расширенная теорема синусов). Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin A} = 2R $

где $a$ – сторона треугольника, $A$ – угол, противолежащий этой стороне, а $R$ – радиус описанной окружности.

В нашем случае, для треугольника $MKP$ мы ищем сторону $KP$. Противолежащим углом для этой стороны является угол $M$.

Применим формулу к нашему треугольнику:

$ \frac{KP}{\sin M} = 2R $

Из этой формулы мы можем выразить сторону $KP$:

$ KP = 2R \cdot \sin M $

Теперь подставим известные значения из условия задачи: $R = 5$ см и $\sin M = 0,7$.

$ KP = 2 \cdot 5 \cdot 0,7 $

$ KP = 10 \cdot 0,7 $

$ KP = 7 $ см.

Ответ: 7 см.

91. На продолжении стороны $AB$ треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle ADC = 45^{\circ}$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 4 см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Согласно этой теореме, для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности.

1. Нахождение длины стороны AC.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, радиус описанной около него окружности ($R_{ABC}$) равен 4 см, а угол $\angle ABC = 60^\circ$. Применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R_{ABC}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = 2 \cdot 4$

Выразим длину стороны $AC$:

$AC = 8 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AC = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника ACD.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников. По условию, угол $\angle ADC = 45^\circ$. Обозначим искомый радиус описанной около треугольника $ACD$ окружности как $R_{ACD}$. Применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ADC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ACD}$

Выразим искомый радиус $R_{ACD}$:

$R_{ACD} = \frac{AC}{2\sin(\angle ADC)}$

Подставим ранее найденное значение $AC = 4\sqrt{3}$ см и известный угол:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sin(45^\circ)}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

92. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AOC}$ — искомый радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$.

По условию задачи, $R = 6$ см, а $\angle ABC = 60^\circ$.

1. Найдём длину стороны AC.
По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R $
Отсюда выразим $AC$:
$ AC = 2R \cdot \sin(\angle ABC) = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

2. Найдём величину угла AOC.
Точка $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Это значит, что $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.
Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:
$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ $
$ \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
Рассмотрим треугольник $AOC$. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны:
$ \angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC $
$ \angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA $
Сумма этих углов равна:
$ \angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ $
Сумма углов в треугольнике $AOC$ также равна $180^\circ$:
$ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

3. Найдём радиус окружности, описанной около треугольника AOC.
Применим теорему синусов для треугольника $AOC$:
$ \frac{AC}{\sin(\angle AOC)} = 2R_{AOC} $
Отсюда выразим $R_{AOC}$:
$ R_{AOC} = \frac{AC}{2\sin(\angle AOC)} $
Подставим известные значения $AC = 6\sqrt{3}$ и $\angle AOC = 120^\circ$:
$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ R_{AOC} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

93. Используя данные рисунка 20, найдите отрезок AD, если $CD = a$, $\angle BAC = \gamma$, $\angle DBA = \beta$.

Рис. 20

Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках, которые видны на рисунке: $ \triangle ABC $ и $ \triangle BCD $. Угол $ \angle C $ у них общий и равен $ 90^\circ $.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $.Из него мы можем выразить катет $ BC $ через другой катет $ AC $ и угол $ \gamma $:

$ \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} \implies \tan(\gamma) = \frac{BC}{AC} $

Поскольку $ AC = AD + CD $ и $ CD = a $, то $ AC = AD + a $.Тогда выражение для $ BC $ принимает вид:

$ BC = AC \cdot \tan(\gamma) = (AD + a) \tan(\gamma) $ (1)

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BCD $.Для того чтобы связать его стороны, найдем один из его острых углов. Найдем $ \angle DBC $.В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ сумма острых углов равна $ 90^\circ $, поэтому:

$ \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \gamma $

Угол $ \angle ABC $ состоит из двух углов: $ \angle DBA $ и $ \angle DBC $.

$ \angle ABC = \angle DBA + \angle DBC $

Отсюда можем выразить $ \angle DBC $:

$ \angle DBC = \angle ABC - \angle DBA = (90^\circ - \gamma) - \beta = 90^\circ - (\gamma + \beta) $

Теперь, используя тангенс угла $ \angle DBC $ в треугольнике $ \triangle BCD $, выразим катет $ BC $:

$ \tan(\angle DBC) = \frac{CD}{BC} \implies \tan(90^\circ - (\gamma + \beta)) = \frac{a}{BC} $

Применим формулу приведения $ \tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) $:

$ \cot(\gamma + \beta) = \frac{a}{BC} $

Выразим отсюда $ BC $:

$ BC = \frac{a}{\cot(\gamma + \beta)} = a \tan(\gamma + \beta) $ (2)

3. Мы получили два выражения для катета $ BC $. Приравняем их правые части:

$ (AD + a) \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) $

4. Решим полученное уравнение относительно $ AD $:

$ AD \cdot \tan(\gamma) + a \cdot \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) $

$ AD \cdot \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) - a \tan(\gamma) $

$ AD \cdot \tan(\gamma) = a (\tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma)) $

$ AD = a \frac{\tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma)}{\tan(\gamma)} $

5. Упростим полученное выражение. Преобразуем числитель дроби, используя формулу для синуса разности углов:

$ \tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma + \beta)}{\cos(\gamma + \beta)} - \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{\sin(\gamma + \beta)\cos(\gamma) - \cos(\gamma + \beta)\sin(\gamma)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} = \frac{\sin((\gamma + \beta) - \gamma)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} $

Подставим это выражение обратно в формулу для $ AD $:

$ AD = a \frac{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)}}{\tan(\gamma)} = a \frac{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)}}{\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}} $

Разделив дроби и сократив $ \cos(\gamma) $, получим окончательный ответ:

$ AD = a \frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} \cdot \frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\gamma)\cos(\gamma + \beta)} $

Ответ: $ \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\gamma)\cos(\gamma + \beta)} $

94. Используя данные рисунка 21, найдите отрезок AC, если $BD = m$, $\angle ABC = \alpha$, $\angle ADC = \beta$.

Рис. 20

Рис. 21

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке 21: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У обоих треугольников катет $AC$ является общим, а угол при вершине $C$ — прямой ($\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$).

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ по определению котангенса острого угла:

$\cot(\angle ABC) = \frac{BC}{AC}$

По условию $\angle ABC = \alpha$. Следовательно:

$\cot(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Выразим из этого равенства катет $BC$:

$BC = AC \cdot \cot(\alpha)$

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ по определению котангенса острого угла:

$\cot(\angle ADC) = \frac{CD}{AC}$

По условию $\angle ADC = \beta$. Следовательно:

$\cot(\beta) = \frac{CD}{AC}$

Выразим из этого равенства катет $CD$:

$CD = AC \cdot \cot(\beta)$

3. Из рисунка видно, что длина отрезка $CD$ равна сумме длин отрезков $CB$ и $BD$:

$CD = CB + BD$

По условию задачи $BD = m$. Подставим в это равенство выражения для $CD$ и $CB$, полученные в шагах 1 и 2:

$AC \cdot \cot(\beta) = AC \cdot \cot(\alpha) + m$

4. Решим полученное уравнение относительно $AC$. Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие $AC$, в левой части уравнения:

$AC \cdot \cot(\beta) - AC \cdot \cot(\alpha) = m$

Вынесем $AC$ за скобки:

$AC (\cot(\beta) - \cot(\alpha)) = m$

Наконец, разделим обе части на выражение в скобках, чтобы найти $AC$:

$AC = \frac{m}{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}$

Ответ: $AC = \frac{m}{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}$

95. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $\angle AMC = \varphi$. Найдите отрезок $CM$, если $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle ACB = \gamma$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Сначала рассмотрим треугольник $ABC$, а затем треугольник $AMC$.

1. Нахождение стороны AC в треугольнике ABC.

В треугольнике $ABC$ известны сторона $AB = c$ и два угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол, $\angle B$, равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle ACB) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma)) = \sin(\alpha + \gamma)$. Уравнение принимает вид:

$\frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Отсюда находим длину стороны $AC$:

$AC = \frac{c \cdot \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

2. Нахождение отрезка CM в треугольнике AMC.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В нем известны угол $\angle A = \alpha$, угол $\angle AMC = \varphi$ и длина стороны $AC$, которую мы нашли в предыдущем шаге.

Применим теорему синусов для треугольника $AMC$:

$\frac{CM}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

Подставим известные значения:

$\frac{CM}{\sin(\alpha)} = \frac{AC}{\sin(\varphi)}$

Выразим искомый отрезок $CM$:

$CM = \frac{AC \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\varphi)}$

Теперь подставим в это выражение найденную ранее длину стороны $AC$:

$CM = \frac{\frac{c \cdot \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)} \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\varphi)}$

Упрощая дробь, получаем окончательную формулу:

$CM = \frac{c \sin(\alpha) \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma) \sin(\varphi)}$

Ответ: $CM = \frac{c \sin(\alpha) \sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma) \sin(\varphi)}$

96. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. На стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = \varphi$, $AD = m$. Найдите сторону $BC$.

Для нахождения стороны $BC$ мы найдем длины отрезков $BD$ и $DC$ по отдельности, а затем сложим их. Для этого будем использовать теорему синусов.

1. Найдем длину отрезка BD

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, в нем известны сторона $AD = m$ и два угла: $\angle B = \beta$ и $\angle ADB = \phi$. Третий угол, $\angle BAD$, можно найти из свойства суммы углов треугольника:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle B - \angle ADB = 180^\circ - \beta - \phi$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения:

$\frac{BD}{\sin(180^\circ - (\beta + \phi))} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{BD}{\sin(\beta + \phi)} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим $BD$:

$BD = \frac{m \sin(\beta + \phi)}{\sin(\beta)}$

2. Найдем длину отрезка DC

Рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем его углы.

Угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) найдем из суммы углов основного треугольника $ABC$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \alpha - \beta$.

Угол $\angle ADC$ является смежным с углом $\angle ADB$, следовательно:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \phi$.

Теперь по теореме синусов для треугольника $ACD$:

$\frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle C)}$

Угол $\angle CAD$ можно найти как разность $\angle A - \angle BAD$, но удобнее использовать тот факт, что угол $\angle ADB = \phi$ является внешним для треугольника $ACD$. По свойству внешнего угла треугольника:

$\angle ADB = \angle C + \angle CAD$

$\phi = (180^\circ - \alpha - \beta) + \angle CAD$

$\angle CAD = \phi - (180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha + \beta + \phi - 180^\circ$.

Подставим найденные углы в теорему синусов для $\triangle ACD$:

$\frac{DC}{\sin(\alpha + \beta + \phi - 180^\circ)} = \frac{m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулы приведения $\sin(x - 180^\circ) = -\sin x$ и $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получим:

$\frac{DC}{-\sin(\alpha + \beta + \phi)} = \frac{m}{\sin(\alpha + \beta)}$

$DC = -\frac{m \sin(\alpha + \beta + \phi)}{\sin(\alpha + \beta)}$

3. Найдем сторону BC

Сторона $BC = BD + DC$. Сложим полученные выражения:

$BC = \frac{m \sin(\beta + \phi)}{\sin(\beta)} - \frac{m \sin(\alpha + \beta + \phi)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Вынесем $m$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$BC = m \frac{\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta + \phi)\sin(\beta)}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Упростим числитель дроби. Используем формулу синуса суммы для $\sin(\alpha + \beta + \phi) = \sin((\alpha + \beta) + \phi) = \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi) + \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)$:

Числитель = $\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - (\sin(\alpha + \beta)\cos(\phi) + \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi))\sin(\beta)$

Раскроем скобки:

= $\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Теперь раскроем $\sin(\beta + \phi) = \sin(\beta)\cos(\phi) + \cos(\beta)\sin(\phi)$:

= $(\sin(\beta)\cos(\phi) + \cos(\beta)\sin(\phi))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

= $\sin(\beta)\cos(\phi)\sin(\alpha + \beta) + \cos(\beta)\sin(\phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Первый и третий члены взаимно уничтожаются. Остается:

= $\cos(\beta)\sin(\phi)\sin(\alpha + \beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Вынесем $\sin(\phi)$ за скобки:

= $\sin(\phi)[\sin(\alpha + \beta)\cos(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\beta)]$

Выражение в квадратных скобках является формулой синуса разности $\sin(X - Y)$, где $X = \alpha + \beta$ и $Y = \beta$.

= $\sin(\phi)\sin((\alpha + \beta) - \beta) = \sin(\phi)\sin(\alpha)$

Подставим упрощенный числитель обратно в формулу для $BC$:

$BC = m \frac{\sin(\alpha)\sin(\phi)}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\phi)}{\sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}$.

97. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ угла $\angle A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Эта биссектриса делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD$ и $DC$. Углы, прилежащие к стороне $BC$, — это $\angle B$ и $\angle C$. Требуется доказать, что длины отрезков $BD$ и $DC$ обратно пропорциональны синусам углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно, то есть выполняется соотношение: $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin C}{\sin B}$.

По определению биссектрисы, угол $\angle A$ делится на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Биссектриса $AD$ разбивает исходный треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ADC$.

Применим теорему синусов для треугольника $\triangle ABD$:
$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle B)}$
Подставив $\angle BAD = \alpha$, получим:
$\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin B}$
Отсюда можно выразить длину отрезка $BD$:
$BD = \frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin B}$ (1)

Аналогично применим теорему синусов для треугольника $\triangle ADC$:
$\frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle C)}$
Подставив $\angle CAD = \alpha$, получим:
$\frac{DC}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin C}$
Отсюда выразим длину отрезка $DC$:
$DC = \frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin C}$ (2)

Теперь найдем отношение длин отрезков $BD$ и $DC$, разделив равенство (1) на равенство (2):
$\frac{BD}{DC} = \frac{\frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin B}}{\frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin C}}$

В полученном выражении можно сократить общий множитель $AD \cdot \sin \alpha$:
$\frac{BD}{DC} = \frac{1/\sin B}{1/\sin C} = \frac{\sin C}{\sin B}$

Полученное соотношение и доказывает, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно обратному отношению синусов прилежащих к этой стороне углов: $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin C}{\sin B}$.

98. Две стороны треугольника равны 6 см и 12 см, а высота, проведённая к третьей стороне, – 4 см. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Обозначим данные стороны треугольника как $a$ и $b$, а третью сторону как $c$. По условию, $a=6$ см и $b=12$ см. Высота, проведённая к третьей стороне $c$, обозначается $h_c$ и равна 4 см. Требуется найти радиус $R$ описанной окружности.

Радиус описанной окружности $R$ связан со сторонами треугольника ($a, b, c$) и его площадью $S$ следующей формулой:
$R = \frac{abc}{4S}$

Площадь треугольника $S$ также можно выразить через сторону $c$ и высоту $h_c$, проведённую к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Теперь подставим второе выражение для площади $S$ в первую формулу для радиуса $R$:
$R = \frac{abc}{4 \left( \frac{1}{2} c \cdot h_c \right)} = \frac{abc}{2ch_c}$

Так как длина стороны $c$ не равна нулю ($c \neq 0$), мы можем сократить дробь на $c$. Это даёт нам простую формулу для вычисления радиуса, использующую только известные величины:
$R = \frac{ab}{2h_c}$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия задачи: $a=6$ см, $b=12$ см, $h_c=4$ см.
$R = \frac{6 \cdot 12}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

99. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашем случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 10$ см и основанием $c = 16$ см.

1. Найдем площадь треугольника (S).

Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $16 / 2 = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и половиной основания (катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + 8^2 = 10^2$

$h^2 + 64 = 100$

$h^2 = 100 - 64 = 36$

$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

2. Найдем радиус описанной окружности (R).

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 16}{4 \cdot 48} = \frac{1600}{192}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{1600}{192} = \frac{100 \cdot 16}{12 \cdot 16} = \frac{100}{12} = \frac{25 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{25}{3}$ см.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби:

$R = 8\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см или $8\frac{1}{3}$ см.