Страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

123. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:

1) $a = 7 \text{ см}, b = 11 \text{ см}, \beta = 46^\circ;$

2) $b = 15 \text{ см}, c = 17 \text{ см}, \beta = 32^\circ;$

3) $a = 7 \text{ см}, c = 3 \text{ см}, \gamma = 27^\circ;$

1) Дано: $a = 7$ см, $b = 11$ см, $\beta = 46°$.

Найти: $c$, $\alpha$, $\gamma$.

Решение:

Для нахождения неизвестных элементов треугольника воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

1. Найдем угол $\alpha$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\beta}{b}$

$\sin\alpha = \frac{7 \cdot \sin46°}{11} \approx \frac{7 \cdot 0.7193}{11} \approx \frac{5.0351}{11} \approx 0.4577$

Так как $\sin\alpha < 1$, решение существует. Угол $\alpha$ может быть равен $\alpha_1 \approx \arcsin(0.4577) \approx 27.2°$ или $\alpha_2 = 180° - \alpha_1 \approx 152.8°$.

Проверим, возможно ли существование треугольника с углом $\alpha_2$. Сумма двух углов треугольника должна быть меньше $180°$.

$\alpha_2 + \beta \approx 152.8° + 46° = 198.8°$. Это больше $180°$, следовательно, такой треугольник невозможен. Единственное решение: $\alpha \approx 27.2°$.

2. Найдем угол $\gamma$ из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180°$:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 27.2° - 46° = 106.8°$.

3. Найдем сторону $c$, используя теорему синусов:

$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta} \implies c = \frac{b \cdot \sin\gamma}{\sin\beta}$

$c \approx \frac{11 \cdot \sin(106.8°)}{\sin(46°)} \approx \frac{11 \cdot 0.9573}{0.7193} \approx 14.6$ см.

Ответ: $\alpha \approx 27.2°$, $\gamma \approx 106.8°$, $c \approx 14.6$ см.

2) Дано: $b = 15$ см, $c = 17$ см, $\beta = 32°$.

Найти: $a$, $\alpha$, $\gamma$.

Решение:

1. Найдем угол $\gamma$ по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \implies \sin\gamma = \frac{c \cdot \sin\beta}{b}$

$\sin\gamma = \frac{17 \cdot \sin32°}{15} \approx \frac{17 \cdot 0.5299}{15} \approx \frac{9.0083}{15} \approx 0.6006$

Так как $\sin\gamma < 1$, решение существует. Угол $\gamma$ может быть равен $\gamma_1 \approx \arcsin(0.6006) \approx 36.9°$ или $\gamma_2 = 180° - \gamma_1 \approx 143.1°$.

Проверим, возможно ли существование треугольника с углом $\gamma_2$.

$\gamma_2 + \beta \approx 143.1° + 32° = 175.1°$. Это меньше $180°$, следовательно, такой треугольник возможен. В данном случае задача имеет два решения.

Случай 1: $\gamma_1 \approx 36.9°$

2. Найдем угол $\alpha_1$:

$\alpha_1 = 180° - \beta - \gamma_1 \approx 180° - 32° - 36.9° = 111.1°$.

3. Найдем сторону $a_1$:

$\frac{a_1}{\sin\alpha_1} = \frac{b}{\sin\beta} \implies a_1 = \frac{b \cdot \sin\alpha_1}{\sin\beta}$

$a_1 \approx \frac{15 \cdot \sin(111.1°)}{\sin(32°)} \approx \frac{15 \cdot 0.9330}{0.5299} \approx 26.4$ см.

Случай 2: $\gamma_2 \approx 143.1°$

2. Найдем угол $\alpha_2$:

$\alpha_2 = 180° - \beta - \gamma_2 \approx 180° - 32° - 143.1° = 4.9°$.

3. Найдем сторону $a_2$:

$a_2 = \frac{b \cdot \sin\alpha_2}{\sin\beta} \approx \frac{15 \cdot \sin(4.9°)}{\sin(32°)} \approx \frac{15 \cdot 0.0854}{0.5299} \approx 2.4$ см.

Ответ: существует два решения.
1) $\gamma_1 \approx 36.9°$, $\alpha_1 \approx 111.1°$, $a_1 \approx 26.4$ см;
2) $\gamma_2 \approx 143.1°$, $\alpha_2 \approx 4.9°$, $a_2 \approx 2.4$ см.

3) Дано: $a = 7$ см, $c = 3$ см, $\gamma = 27°$.

Найти: $b$, $\alpha$, $\beta$.

Решение:

Используем теорему синусов для нахождения угла $\alpha$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma} \implies \sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\gamma}{c}$

$\sin\alpha = \frac{7 \cdot \sin27°}{3} \approx \frac{7 \cdot 0.4540}{3} \approx \frac{3.178}{3} \approx 1.059$

Значение синуса любого угла не может превышать 1. Так как мы получили, что $\sin\alpha \approx 1.059 > 1$, то угла $\alpha$, удовлетворяющего данному условию, не существует.

Следовательно, треугольник с заданными сторонами и углом не существует.

Ответ: Решений нет, так как треугольник с такими параметрами не существует.

124. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:

1) $a = 23 \text{ см}, c = 30 \text{ см}, \gamma = 102^\circ$;

2) $a = 18 \text{ см}, b = 25 \text{ см}, \alpha = 36^\circ$.

1) Даны стороны треугольника $a = 23$ см, $c = 30$ см и угол $\gamma = 102^\circ$, который является противолежащим стороне $c$.

Задача "решить треугольник" заключается в нахождении всех его неизвестных элементов: в данном случае, стороны $b$ и углов $\alpha$ и $\beta$.

1. Для нахождения угла $\alpha$, противолежащего стороне $a$, воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$

Отсюда выразим $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\gamma}{c} = \frac{23 \cdot \sin(102^\circ)}{30}$

Вычислим значение: $\sin(102^\circ) \approx 0.9781$.

$\sin\alpha \approx \frac{23 \cdot 0.9781}{30} \approx \frac{22.4963}{30} \approx 0.7499$

Угол $\alpha$ можно найти как $\alpha = \arcsin(0.7499) \approx 48.58^\circ$.

Теоретически, существует и второй угол $\alpha' = 180^\circ - 48.58^\circ = 131.42^\circ$, для которого синус имеет то же значение. Однако, сумма углов $\alpha' + \gamma$ в таком случае была бы $131.42^\circ + 102^\circ = 233.42^\circ$, что превышает $180^\circ$ и невозможно для треугольника. Следовательно, для угла $\alpha$ существует единственное решение.

Округлим полученное значение: $\alpha \approx 48.6^\circ$.

2. Зная два угла, найдем третий угол $\beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 48.6^\circ - 102^\circ = 29.4^\circ$

3. Для нахождения стороны $b$ снова применим теорему синусов:

$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

$b = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} \approx \frac{30 \cdot \sin(29.4^\circ)}{\sin(102^\circ)} \approx \frac{30 \cdot 0.4909}{0.9781} \approx \frac{14.727}{0.9781} \approx 15.1$ см.

Ответ: $b \approx 15.1$ см, $\alpha \approx 48.6^\circ$, $\beta \approx 29.4^\circ$.

2) Даны стороны треугольника $a = 18$ см, $b = 25$ см и угол $\alpha = 36^\circ$, который является противолежащим стороне $a$.

Решение: Необходимо найти сторону $c$ и углы $\beta$ и $\gamma$.

1. Найдем угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$

Выразим $\sin\beta$:

$\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a} = \frac{25 \cdot \sin(36^\circ)}{18}$

Вычислим значение: $\sin(36^\circ) \approx 0.5878$.

$\sin\beta \approx \frac{25 \cdot 0.5878}{18} \approx \frac{14.695}{18} \approx 0.8164$

Поскольку $0 < \sin\beta < 1$, существует два возможных значения для угла $\beta$. Так как данная сторона $a$ (противолежащая данному углу $\alpha$) меньше другой данной стороны $b$ ($18 < 25$), то в данном случае (SSA) существуют два возможных решения для треугольника. Рассмотрим оба.

Возможные значения для $\beta$:

$\beta_1 = \arcsin(0.8164) \approx 54.7^\circ$

$\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \approx 180^\circ - 54.7^\circ = 125.3^\circ$

Случай 1: $\beta_1 \approx 54.7^\circ$

Проверим сумму углов: $\alpha + \beta_1 = 36^\circ + 54.7^\circ = 90.7^\circ$. Так как $90.7^\circ < 180^\circ$, такое решение возможно.

Найдем третий угол $\gamma_1$:

$\gamma_1 = 180^\circ - \alpha - \beta_1 \approx 180^\circ - 36^\circ - 54.7^\circ = 89.3^\circ$

Найдем третью сторону $c_1$, используя теорему синусов:

$\frac{c_1}{\sin\gamma_1} = \frac{a}{\sin\alpha}$

$c_1 = \frac{a \cdot \sin\gamma_1}{\sin\alpha} \approx \frac{18 \cdot \sin(89.3^\circ)}{\sin(36^\circ)} \approx \frac{18 \cdot 0.9999}{0.5878} \approx 30.6$ см.

Случай 2: $\beta_2 \approx 125.3^\circ$

Проверим сумму углов: $\alpha + \beta_2 = 36^\circ + 125.3^\circ = 161.3^\circ$. Так как $161.3^\circ < 180^\circ$, это решение также возможно.

Найдем третий угол $\gamma_2$:

$\gamma_2 = 180^\circ - \alpha - \beta_2 \approx 180^\circ - 36^\circ - 125.3^\circ = 18.7^\circ$

Найдем третью сторону $c_2$:

$\frac{c_2}{\sin\gamma_2} = \frac{a}{\sin\alpha}$

$c_2 = \frac{a \cdot \sin\gamma_2}{\sin\alpha} \approx \frac{18 \cdot \sin(18.7^\circ)}{\sin(36^\circ)} \approx \frac{18 \cdot 0.3206}{0.5878} \approx 9.8$ см.

Ответ: задача имеет два решения.
1. $\beta_1 \approx 54.7^\circ$, $\gamma_1 \approx 89.3^\circ$, $c_1 \approx 30.6$ см.
2. $\beta_2 \approx 125.3^\circ$, $\gamma_2 \approx 18.7^\circ$, $c_2 \approx 9.8$ см.

125. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) медиану $CM$;

3) биссектрису $AD$;

4) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 20$ см, он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 70^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$ равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

1) сторону AC;

Для нахождения стороны $AC$ можно воспользоваться теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Выразим сторону $AC$:

$AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{20 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}$

Используя приближенные значения синусов: $\sin(40^\circ) \approx 0.6428$, $\sin(70^\circ) \approx 0.9397$.

$AC \approx \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 13.68$ см.

Другой способ — провести высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем катет $AH$ равен:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 20 \cdot \cos(70^\circ)$.

Так как $H$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 20 \cdot \cos(70^\circ) = 40 \cos(70^\circ)$.

Используя приближенное значение косинуса: $\cos(70^\circ) \approx 0.3420$.

$AC \approx 40 \cdot 0.3420 = 13.68$ см.

Ответ: $AC = 40 \cos(70^\circ) \approx 13.68$ см.

2) медиану CM;

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. Для нахождения длины медианы $CM$ применим теорему косинусов к треугольнику $AMC$. В этом треугольнике известны две стороны $AC \approx 13.68$ см, $AM = 10$ см и угол между ними $\angle A = 70^\circ$.

$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle A)$

Подставим значения, используя точное выражение для $AC$:

$CM^2 = (40 \cos(70^\circ))^2 + 10^2 - 2 \cdot (40 \cos(70^\circ)) \cdot 10 \cdot \cos(70^\circ)$

$CM^2 = 1600 \cos^2(70^\circ) + 100 - 800 \cos^2(70^\circ)$

$CM^2 = 100 + 800 \cos^2(70^\circ)$

$CM = \sqrt{100 + 800 \cos^2(70^\circ)} \approx \sqrt{100 + 800 \cdot (0.3420)^2} \approx \sqrt{100 + 93.58} \approx \sqrt{193.58} \approx 13.91$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{100 + 800 \cos^2(70^\circ)} \approx 13.91$ см.

3) биссектрису AD;

Биссектриса $AD$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известна сторона $AB = 20$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle B = 40^\circ$ и $\angle BAD = 35^\circ$. Найдем третий угол этого треугольника:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

$AD = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{20 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$

Используя приближенные значения синусов: $\sin(40^\circ) \approx 0.6428$, $\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) \approx 0.9659$.

$AD \approx \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9659} \approx 13.31$ см.

Ответ: $AD = \frac{20 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)} \approx 13.31$ см.

4) радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Радиус $R$ описанной окружности найдем с помощью следствия из теоремы синусов:

$2R = \frac{a}{\sin A}$

Возьмем сторону $BC = 20$ см и противолежащий ей угол $\angle A = 70^\circ$:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{20}{\sin(70^\circ)}$

Отсюда радиус $R$ равен:

$R = \frac{20}{2 \sin(70^\circ)} = \frac{10}{\sin(70^\circ)}$

Используя приближенное значение $\sin(70^\circ) \approx 0.9397$.

$R \approx \frac{10}{0.9397} \approx 10.64$ см.

Ответ: $R = \frac{10}{\sin(70^\circ)} \approx 10.64$ см.

126. Диагональ $AC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 8 см, $\angle CAD = 38^{\circ}$, $\angle BAD = 72^{\circ}$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC \parallel AD$. Диагональ $AC = 8$ см, $\angle CAD = 38^\circ$, $\angle BAD = 72^\circ$.

1) стороны трапеции

Сначала найдем углы, необходимые для расчетов. Угол $\angle BAC$ можно найти как разность данных углов:

$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 72^\circ - 38^\circ = 34^\circ$.

Так как $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 38^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Зная два его угла, найдем третий:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (34^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при большем основании равны ($\angle CDA = \angle BAD = 72^\circ$).

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$ для нахождения сторон $AB$ и $BC$:

$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{AB}{\sin(38^\circ)} = \frac{BC}{\sin(34^\circ)} = \frac{8}{\sin(108^\circ)}$

Из этого соотношения находим боковую сторону $AB$ (и равную ей $CD$):

$AB = CD = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(108^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(180^\circ - 72^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Находим меньшее основание $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin(34^\circ)}{\sin(108^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(34^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Для нахождения большего основания $AD$ рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем в нем угол $\angle ACD$:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^\circ - (38^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ACD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle CDA)}$

$\frac{AD}{\sin(70^\circ)} = \frac{8}{\sin(72^\circ)}$

Отсюда находим большее основание $AD$:

$AD = \frac{8 \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Ответ: $AB = CD = \frac{8 \sin 38^\circ}{\sin 72^\circ}$ см, $BC = \frac{8 \sin 34^\circ}{\sin 72^\circ}$ см, $AD = \frac{8 \sin 70^\circ}{\sin 72^\circ}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника ABC

Радиус $R$ описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле, следующей из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника $ABC$ используем сторону $AC$ и противолежащий ей угол $\angle ABC$.

$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)}$

Подставим известные значения $AC = 8$ см и $\angle ABC = 108^\circ$:

$R = \frac{8}{2 \sin(108^\circ)} = \frac{4}{\sin(108^\circ)}$ см.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(108^\circ) = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin(72^\circ)$.

Таким образом, радиус равен:

$R = \frac{4}{\sin(72^\circ)}$ см.

Ответ: $R = \frac{4}{\sin 72^\circ}$ см.

127. Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боковые стороны – 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $AB$ и $DC$ параллельны. По условию, длины оснований равны $AB = 12$ см и $DC = 16$ см, а длины боковых сторон равны $AD = 7$ см и $BC = 9$ см.Для нахождения углов трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем из вершины $A$ прямую, параллельную боковой стороне $BC$, до пересечения с основанием $DC$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны ($AB \parallel EC$ как части оснований трапеции, $AE \parallel BC$ по построению).Из свойств параллелограмма следует, что $AE = BC = 9$ см и $EC = AB = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. Мы знаем длины всех его трех сторон:

• $AD = 7$ см (по условию).
• $AE = 9$ см (из параллелограмма $ABCE$).
• $DE = DC - EC = 16 - 12 = 4$ см.

Зная все стороны треугольника $ADE$, мы можем найти его углы с помощью теоремы косинусов.

1. Найдем угол $D$ трапеции.
Угол $D$ трапеции совпадает с углом $ADE$ треугольника $ADE$. По теореме косинусов для треугольника $ADE$:$AE^2 = AD^2 + DE^2 - 2 \cdot AD \cdot DE \cdot \cos(\angle D)$$9^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos(\angle D)$$81 = 49 + 16 - 56 \cdot \cos(\angle D)$$81 = 65 - 56 \cdot \cos(\angle D)$$56 \cdot \cos(\angle D) = 65 - 81$$56 \cdot \cos(\angle D) = -16$$\cos(\angle D) = -\frac{16}{56} = -\frac{2}{7}$Следовательно, угол $D$ равен $\arccos(-\frac{2}{7})$.

2. Найдем угол $C$ трапеции.
Сначала найдем угол $AED$ в треугольнике $ADE$ по теореме косинусов:$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(\angle AED)$$7^2 = 9^2 + 4^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos(\angle AED)$$49 = 81 + 16 - 72 \cdot \cos(\angle AED)$$49 = 97 - 72 \cdot \cos(\angle AED)$$72 \cdot \cos(\angle AED) = 97 - 49$$72 \cdot \cos(\angle AED) = 48$$\cos(\angle AED) = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$Поскольку $AE \parallel BC$ и $DC$ является секущей, углы $\angle AED$ и $\angle BCD$ (угол $C$) являются соответственными. Следовательно, $\angle C = \angle AED$.Таким образом, $\cos(\angle C) = \frac{2}{3}$, и угол $C$ равен $\arccos(\frac{2}{3})$.

3. Найдем углы $A$ и $B$ трапеции.
В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.Для боковой стороны $AD$:$\angle A + \angle D = 180^\circ$$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \arccos(-\frac{2}{7})$Используя свойство $\arccos(-x) = 180^\circ - \arccos(x)$, получаем $\angle A = \arccos(\frac{2}{7})$.Для боковой стороны $BC$:$\angle B + \angle C = 180^\circ$$\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - \arccos(\frac{2}{3})$$\angle B = \arccos(-\frac{2}{3})$.

Таким образом, мы нашли все четыре угла трапеции.
Ответ: Углы трапеции равны $\arccos(\frac{2}{3})$, $\arccos(-\frac{2}{3})$, $\arccos(\frac{2}{7})$ и $\arccos(-\frac{2}{7})$.

128. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M$, а продолжение стороны $CD$ за точку $D$ – в точке $K$. Найдите отрезок $DK$, если $AM = 8$ см, а периметр параллелограмма равен $50$ см.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Биссектриса угла $B$, которую обозначим $BK$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$ и продолжение стороны $CD$ в точке $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BK$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $∠CBM$ и $∠AMB$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $∠CBM = ∠AMB$.

2. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, то $∠ABM = ∠CBM$. Из двух предыдущих равенств следует, что $∠ABM = ∠AMB$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $BM$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = AM$.

3. По условию задачи дано, что $AM = 8$ см. Значит, сторона параллелограмма $AB = 8$ см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 8$ см.

4. Периметр параллелограмма равен $P = 2(AB + AD)$. По условию $P = 50$ см. Подставим известные значения:
$50 = 2(8 + AD)$
$25 = 8 + AD$
$AD = 25 - 8 = 17$ см.

5. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = 17$ см.

6. Теперь рассмотрим треугольник $KBC$. Стороны $AB$ и $CK$ (продолжение стороны $CD$) параллельны ($AB \parallel CK$). Прямая $BK$ является для них секущей. Углы $∠ABK$ и $∠CKB$ являются накрест лежащими, значит, они равны: $∠ABK = ∠CKB$.

7. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $∠ABK = ∠CBK$. Из равенств в пунктах 6 и 7 следует, что $∠CBK = ∠CKB$. Это означает, что треугольник $KBC$ является равнобедренным с основанием $BK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $KC = BC$.

8. Из пункта 5 мы знаем, что $BC = 17$ см, значит, $KC = 17$ см.

9. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $CD$ за точку $D$. Таким образом, отрезок $KC$ состоит из отрезков $CD$ и $DK$: $KC = CD + DK$. Мы знаем, что $KC = 17$ см и $CD = 8$ см. Подставим эти значения в равенство:
$17 = 8 + DK$
$DK = 17 - 8 = 9$ см.

Ответ: $DK = 9$ см.

129. Периметр одного из двух подобных треугольников на 18 см меньше периметра другого треугольника, а наибольшие стороны этих треугольников равны 5 см и 8 см. Найдите периметры данных треугольников.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры двух подобных треугольников, а $a_1$ и $a_2$ — их наибольшие стороны. Согласно условию, $a_1 = 5$ см и $a_2 = 8$ см. Поскольку $a_2 > a_1$, то и периметр треугольника с большей стороной ($P_2$) будет больше периметра другого треугольника ($P_1$). Их разность равна 18 см, что можно записать в виде уравнения: $P_2 - P_1 = 18$.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон, то есть коэффициенту подобия $k$. В данном случае наибольшие стороны являются соответственными. Найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{5}$

Следовательно, отношение периметров также равно $\frac{8}{5}$:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $P_2 - P_1 = 18$

2) $\frac{P_2}{P_1} = \frac{8}{5}$

Из второго уравнения выразим $P_2$ через $P_1$: $P_2 = \frac{8}{5}P_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение и решим его относительно $P_1$:

$\frac{8}{5}P_1 - P_1 = 18$

$P_1(\frac{8}{5} - 1) = 18$

$P_1(\frac{8}{5} - \frac{5}{5}) = 18$

$P_1(\frac{3}{5}) = 18$

$P_1 = 18 \cdot \frac{5}{3}$

$P_1 = 30$ см.

Теперь, зная $P_1$, найдем $P_2$ из первого уравнения:

$P_2 = P_1 + 18 = 30 + 18 = 48$ см.

Ответ: периметры данных треугольников равны 30 см и 48 см.

Готовимся к изучению новой темы

Рис. 26

130. Точка M – середина стороны CD прямоугольника ABCD, $AB = 6$ см, $AD = 5$ см (рис. 26). Чему равна площадь треугольника ACM?

130.

Согласно условию, нам дан прямоугольник $ABCD$. Длины его сторон равны $AB = 6$ см и $AD = 5$ см. Точка $M$ — середина стороны $CD$. Требуется найти площадь треугольника $ACM$.

1. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 6$ см.

2. Так как точка $M$ является серединой стороны $CD$, то она делит эту сторону пополам: $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

3. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

4. В треугольнике $ACM$ выберем в качестве основания сторону $CM$.

5. Высотой, проведенной к основанию $CM$, будет перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую $CD$. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ перпендикулярна стороне $CD$, следовательно, длина $AD$ и является высотой нашего треугольника. Таким образом, $h = AD = 5$ см.

6. Вычислим площадь треугольника $ACM$:
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 7,5 \text{ см}^2$.

Ответ: 7,5 см².

131.

Условие задачи обрывается и не содержит вопроса или утверждения, которое нужно доказать. Решение предоставить невозможно.

131. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = \alpha$. Докажите, что

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, следовательно, отрезок $BD$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ADB$ и $CDB$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle CDB}$

Площадь треугольника можно найти по формуле: половина произведения двух сторон на синус угла между ними.Для треугольника $ADB$ имеем стороны $AD$ и $BD$, и угол между ними $\angle ADB = \alpha$. Его площадь:

$S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin(\angle ADB) = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin \alpha$

Для треугольника $CDB$ имеем стороны $CD$ и $BD$. Углы $\angle ADB$ и $\angle CDB$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол $ADC$ на прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle CDB = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем площадь треугольника $CDB$:

$S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin(\angle CDB) = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin(180^\circ - \alpha)$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin \alpha$

Теперь подставим найденные площади в формулу для площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin \alpha + \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin \alpha$

Вынесем общие множители за скобки:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BD \sin \alpha (AD + CD)$

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CD$:

$AC = AD + CD$

Подставим это в выражение для площади:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BD \sin \alpha \cdot AC$

Переставив множители, получаем искомую формулу:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$.