Номер 123, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

123. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:

1) $a = 7 \text{ см}, b = 11 \text{ см}, \beta = 46^\circ;$

2) $b = 15 \text{ см}, c = 17 \text{ см}, \beta = 32^\circ;$

3) $a = 7 \text{ см}, c = 3 \text{ см}, \gamma = 27^\circ;$

1) Дано: $a = 7$ см, $b = 11$ см, $\beta = 46°$.

Найти: $c$, $\alpha$, $\gamma$.

Решение:

Для нахождения неизвестных элементов треугольника воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

1. Найдем угол $\alpha$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\beta}{b}$

$\sin\alpha = \frac{7 \cdot \sin46°}{11} \approx \frac{7 \cdot 0.7193}{11} \approx \frac{5.0351}{11} \approx 0.4577$

Так как $\sin\alpha < 1$, решение существует. Угол $\alpha$ может быть равен $\alpha_1 \approx \arcsin(0.4577) \approx 27.2°$ или $\alpha_2 = 180° - \alpha_1 \approx 152.8°$.

Проверим, возможно ли существование треугольника с углом $\alpha_2$. Сумма двух углов треугольника должна быть меньше $180°$.

$\alpha_2 + \beta \approx 152.8° + 46° = 198.8°$. Это больше $180°$, следовательно, такой треугольник невозможен. Единственное решение: $\alpha \approx 27.2°$.

2. Найдем угол $\gamma$ из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180°$:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 27.2° - 46° = 106.8°$.

3. Найдем сторону $c$, используя теорему синусов:

$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta} \implies c = \frac{b \cdot \sin\gamma}{\sin\beta}$

$c \approx \frac{11 \cdot \sin(106.8°)}{\sin(46°)} \approx \frac{11 \cdot 0.9573}{0.7193} \approx 14.6$ см.

Ответ: $\alpha \approx 27.2°$, $\gamma \approx 106.8°$, $c \approx 14.6$ см.

2) Дано: $b = 15$ см, $c = 17$ см, $\beta = 32°$.

Найти: $a$, $\alpha$, $\gamma$.

Решение:

1. Найдем угол $\gamma$ по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \implies \sin\gamma = \frac{c \cdot \sin\beta}{b}$

$\sin\gamma = \frac{17 \cdot \sin32°}{15} \approx \frac{17 \cdot 0.5299}{15} \approx \frac{9.0083}{15} \approx 0.6006$

Так как $\sin\gamma < 1$, решение существует. Угол $\gamma$ может быть равен $\gamma_1 \approx \arcsin(0.6006) \approx 36.9°$ или $\gamma_2 = 180° - \gamma_1 \approx 143.1°$.

Проверим, возможно ли существование треугольника с углом $\gamma_2$.

$\gamma_2 + \beta \approx 143.1° + 32° = 175.1°$. Это меньше $180°$, следовательно, такой треугольник возможен. В данном случае задача имеет два решения.

Случай 1: $\gamma_1 \approx 36.9°$

2. Найдем угол $\alpha_1$:

$\alpha_1 = 180° - \beta - \gamma_1 \approx 180° - 32° - 36.9° = 111.1°$.

3. Найдем сторону $a_1$:

$\frac{a_1}{\sin\alpha_1} = \frac{b}{\sin\beta} \implies a_1 = \frac{b \cdot \sin\alpha_1}{\sin\beta}$

$a_1 \approx \frac{15 \cdot \sin(111.1°)}{\sin(32°)} \approx \frac{15 \cdot 0.9330}{0.5299} \approx 26.4$ см.

Случай 2: $\gamma_2 \approx 143.1°$

2. Найдем угол $\alpha_2$:

$\alpha_2 = 180° - \beta - \gamma_2 \approx 180° - 32° - 143.1° = 4.9°$.

3. Найдем сторону $a_2$:

$a_2 = \frac{b \cdot \sin\alpha_2}{\sin\beta} \approx \frac{15 \cdot \sin(4.9°)}{\sin(32°)} \approx \frac{15 \cdot 0.0854}{0.5299} \approx 2.4$ см.

Ответ: существует два решения.
1) $\gamma_1 \approx 36.9°$, $\alpha_1 \approx 111.1°$, $a_1 \approx 26.4$ см;
2) $\gamma_2 \approx 143.1°$, $\alpha_2 \approx 4.9°$, $a_2 \approx 2.4$ см.

3) Дано: $a = 7$ см, $c = 3$ см, $\gamma = 27°$.

Найти: $b$, $\alpha$, $\beta$.

Решение:

Используем теорему синусов для нахождения угла $\alpha$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma} \implies \sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\gamma}{c}$

$\sin\alpha = \frac{7 \cdot \sin27°}{3} \approx \frac{7 \cdot 0.4540}{3} \approx \frac{3.178}{3} \approx 1.059$

Значение синуса любого угла не может превышать 1. Так как мы получили, что $\sin\alpha \approx 1.059 > 1$, то угла $\alpha$, удовлетворяющего данному условию, не существует.

Следовательно, треугольник с заданными сторонами и углом не существует.

Ответ: Решений нет, так как треугольник с такими параметрами не существует.