Номер 116, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

116. Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) $a = 10$ см, $\beta = 20^\circ$, $\gamma = 85^\circ$;

2) $b = 16$ см, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 110^\circ$.

1) Дано: сторона $a = 10$ см, угол $β = 20°$, угол $γ = 85°$.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае необходимо найти угол $α$ и стороны $b$ и $c$.

1. Сначала найдем неизвестный угол $α$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, получаем:
$α + β + γ = 180°$
$α = 180° - β - γ$
$α = 180° - 20° - 85° = 75°$.

2. Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти две другие стороны с помощью теоремы синусов. Теорема синусов гласит:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} $

Из этой пропорции выразим и найдем сторону $b$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} \implies b = \frac{a \cdot \sin β}{\sin α} $
$ b = \frac{10 \cdot \sin 20°}{\sin 75°} \approx \frac{10 \cdot 0.342}{0.966} \approx 3.54 \text{ см} $

Аналогично найдем сторону $c$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{c}{\sin γ} \implies c = \frac{a \cdot \sin γ}{\sin α} $
$ c = \frac{10 \cdot \sin 85°}{\sin 75°} \approx \frac{10 \cdot 0.996}{0.966} \approx 10.31 \text{ см} $

Ответ: $α = 75°$, $b \approx 3.54$ см, $c \approx 10.31$ см.

2) Дано: сторона $b = 16$ см, угол $α = 40°$, угол $β = 110°$.

В этом случае необходимо найти угол $γ$ и стороны $a$ и $c$.

1. Найдем неизвестный угол $γ$, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180°$:
$α + β + γ = 180°$
$γ = 180° - α - β$
$γ = 180° - 40° - 110° = 30°$.

2. Используем теорему синусов для нахождения неизвестных сторон $a$ и $c$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} $

Выразим и найдем сторону $a$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} \implies a = \frac{b \cdot \sin α}{\sin β} $
$ a = \frac{16 \cdot \sin 40°}{\sin 110°} \approx \frac{16 \cdot 0.643}{0.940} \approx 10.95 \text{ см} $

Аналогично найдем сторону $c$:
$ \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} \implies c = \frac{b \cdot \sin γ}{\sin β} $
$ c = \frac{16 \cdot \sin 30°}{\sin 110°} = \frac{16 \cdot 0.5}{\sin 110°} \approx \frac{8}{0.940} \approx 8.51 \text{ см} $

Ответ: $γ = 30°$, $a \approx 10.95$ см, $c \approx 8.51$ см.