Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Что значит решить треугольник?

«Решить треугольник» — это задача по нахождению всех его шести основных элементов (трёх сторон и трёх углов) по трём известным элементам, если хотя бы один из них — сторона. Пусть стороны треугольника обозначаются как $a, b, c$, а противолежащие им углы — как $\alpha, \beta, \gamma$. Для решения треугольника необходимо найти значения всех шести величин: $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$.

Для нахождения неизвестных элементов используются фундаментальные теоремы геометрии и тригонометрии:

• Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, всегда можно найти третий: $ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) $.
• Теорема синусов. Устанавливает связь между сторонами и противолежащими им углами. Она позволяет найти неизвестную сторону или угол, если известна пара «сторона и противолежащий угол». Формула: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $
• Теорема косинусов. Является обобщением теоремы Пифагора. Она позволяет найти третью сторону, если известны две другие и угол между ними, или найти любой угол, если известны все три стороны. Формула для стороны $a$: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha $

В зависимости от набора известных данных, выделяют несколько основных типов задач на решение треугольников:

1. Решение по стороне и двум углам (например, даны $a, \beta, \gamma$).
2. Решение по двум сторонам и углу между ними (например, даны $a, b, \gamma$).
3. Решение по трём сторонам (даны $a, b, c$).
4. Решение по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (например, даны $a, b, \alpha$).

Таким образом, решение треугольника — это последовательное применение указанных теорем для вычисления всех неизвестных его характеристик.

Ответ: Решить треугольник — значит найти длины всех его трёх сторон и величины всех его трёх углов по трём известным элементам, из которых хотя бы один является стороной.

116. Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) $a = 10$ см, $\beta = 20^\circ$, $\gamma = 85^\circ$;

2) $b = 16$ см, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 110^\circ$.

1) Дано: сторона $a = 10$ см, угол $β = 20°$, угол $γ = 85°$.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае необходимо найти угол $α$ и стороны $b$ и $c$.

1. Сначала найдем неизвестный угол $α$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, получаем:
$α + β + γ = 180°$
$α = 180° - β - γ$
$α = 180° - 20° - 85° = 75°$.

2. Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти две другие стороны с помощью теоремы синусов. Теорема синусов гласит:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} $

Из этой пропорции выразим и найдем сторону $b$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} \implies b = \frac{a \cdot \sin β}{\sin α} $
$ b = \frac{10 \cdot \sin 20°}{\sin 75°} \approx \frac{10 \cdot 0.342}{0.966} \approx 3.54 \text{ см} $

Аналогично найдем сторону $c$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{c}{\sin γ} \implies c = \frac{a \cdot \sin γ}{\sin α} $
$ c = \frac{10 \cdot \sin 85°}{\sin 75°} \approx \frac{10 \cdot 0.996}{0.966} \approx 10.31 \text{ см} $

Ответ: $α = 75°$, $b \approx 3.54$ см, $c \approx 10.31$ см.

2) Дано: сторона $b = 16$ см, угол $α = 40°$, угол $β = 110°$.

В этом случае необходимо найти угол $γ$ и стороны $a$ и $c$.

1. Найдем неизвестный угол $γ$, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180°$:
$α + β + γ = 180°$
$γ = 180° - α - β$
$γ = 180° - 40° - 110° = 30°$.

2. Используем теорему синусов для нахождения неизвестных сторон $a$ и $c$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} $

Выразим и найдем сторону $a$:
$ \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} \implies a = \frac{b \cdot \sin α}{\sin β} $
$ a = \frac{16 \cdot \sin 40°}{\sin 110°} \approx \frac{16 \cdot 0.643}{0.940} \approx 10.95 \text{ см} $

Аналогично найдем сторону $c$:
$ \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} \implies c = \frac{b \cdot \sin γ}{\sin β} $
$ c = \frac{16 \cdot \sin 30°}{\sin 110°} = \frac{16 \cdot 0.5}{\sin 110°} \approx \frac{8}{0.940} \approx 8.51 \text{ см} $

Ответ: $γ = 30°$, $a \approx 10.95$ см, $c \approx 8.51$ см.

117. Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) $b = 9$ см, $\alpha = 35^\circ$, $\gamma = 70^\circ$;

2) $c = 14$ см, $\beta = 132^\circ$, $\gamma = 24^\circ$.

Чтобы решить треугольник, нужно найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам известны сторона $b = 9$ см, угол $\alpha = 35^\circ$ и угол $\gamma = 70^\circ$. Нам нужно найти угол $\beta$ и стороны $a$ и $c$.

1. Найдем неизвестный угол $\beta$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

2. Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти две другие стороны с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Выразим и найдем сторону $a$:

$a = \frac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.5736}{0.9659} \approx 5.34$ см.

Выразим и найдем сторону $c$:

$c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.9397}{0.9659} \approx 8.76$ см.

Округлим полученные значения до десятых.
Ответ: $\beta = 75^\circ$, $a \approx 5.3$ см, $c \approx 8.8$ см.

В данном случае нам известны сторона $c = 14$ см, угол $\beta = 132^\circ$ и угол $\gamma = 24^\circ$. Нам нужно найти угол $\alpha$ и стороны $a$ и $b$.

1. Найдем неизвестный угол $\alpha$, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) = 180^\circ - (132^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$.

2. Мы видим, что $\alpha = \gamma = 24^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, а стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $a = c$.

$a = 14$ см.

3. Для нахождения стороны $b$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Выразим и найдем сторону $b$:

$b = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ}$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем $\sin 132^\circ = \sin(180^\circ - 48^\circ) = \sin 48^\circ$.

$b = \frac{14 \cdot \sin 48^\circ}{\sin 24^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.7431}{0.4067} \approx 25.58$ см.

Округлим полученное значение до десятых.
Ответ: $\alpha = 24^\circ$, $a = 14$ см, $b \approx 25.6$ см.

118. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) $b = 18 \text{ см}$, $c = 22 \text{ см}$, $\alpha = 76^\circ$;

2) $a = 20 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $\gamma = 104^\circ$.

1) Дано: $b = 18$ см, $c = 22$ см, $\alpha = 76°$.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам нужно найти сторону $a$ и углы $\beta$ и $\gamma$.

Шаг 1: Находим сторону $a$ по теореме косинусов.

Теорема косинусов для стороны $a$ имеет вид: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Подставляем известные значения в формулу:

$a^2 = 18^2 + 22^2 - 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot \cos 76°$

$a^2 = 324 + 484 - 792 \cdot \cos 76°$

Используя калькулятор, находим значение косинуса: $\cos 76° \approx 0.2419$.

$a^2 \approx 808 - 792 \cdot 0.2419$

$a^2 \approx 808 - 191.5848 = 616.4152$

Теперь извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $a$:

$a = \sqrt{616.4152} \approx 24.83$ см.

Шаг 2: Находим угол $\beta$ по теореме синусов.

Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ выражаем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a}$

Подставляем известные и найденные значения (используя значение $\sin 76° \approx 0.9703$):

$\sin \beta \approx \frac{18 \cdot 0.9703}{24.83} \approx \frac{17.4654}{24.83} \approx 0.7034$

Находим угол $\beta$, беря арксинус от полученного значения:

$\beta = \arcsin(0.7034) \approx 44.7°$.

Шаг 3: Находим угол $\gamma$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, следовательно:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$

$\gamma \approx 180° - 76° - 44.7° = 59.3°$.

Ответ: $a \approx 24.83$ см, $\beta \approx 44.7°$, $\gamma \approx 59.3°$.

2) Дано: $a = 20$ см, $b = 15$ см, $\gamma = 104°$.

Здесь нам нужно найти неизвестную сторону $c$ и углы $\alpha$ и $\beta$.

Шаг 1: Находим сторону $c$ по теореме косинусов.

Применяем теорему косинусов для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Подставляем известные данные:

$c^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 104°$

$c^2 = 400 + 225 - 600 \cdot \cos 104°$

Угол $104°$ является тупым, поэтому его косинус будет отрицательным: $\cos 104° \approx -0.2419$.

$c^2 \approx 625 - 600 \cdot (-0.2419) = 625 + 145.14 = 770.14$

Находим длину стороны $c$:

$c = \sqrt{770.14} \approx 27.75$ см.

Шаг 2: Находим угол $\beta$ по теореме синусов.

Используем теорему синусов $\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta}$ и выражаем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \gamma}{c}$

Подставляем значения (используя $\sin 104° = \sin(180°-76°) = \sin 76° \approx 0.9703$):

$\sin \beta \approx \frac{15 \cdot 0.9703}{27.75} \approx \frac{14.5545}{27.75} \approx 0.5245$

Находим угол $\beta$:

$\beta = \arcsin(0.5245) \approx 31.6°$.

Шаг 3: Находим угол $\alpha$.

Зная два угла, третий находим из условия, что их сумма равна $180°$:

$\alpha = 180° - \gamma - \beta$

$\alpha \approx 180° - 104° - 31.6° = 44.4°$.

Ответ: $c \approx 27.75$ см, $\alpha \approx 44.4°$, $\beta \approx 31.6°$.

119. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) $a = 8 \text{ см}$, $c = 6 \text{ см}$, $\beta = 15^\circ$;

2) $b = 7 \text{ см}$, $c = 5 \text{ см}$, $\alpha = 145^\circ$.

1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°

Решение этой задачи состоит в нахождении неизвестной стороны $b$ и двух неизвестных углов $\alpha$ и $\gamma$.

Шаг 1: Нахождение стороны b по теореме косинусов.
Теорема косинусов гласит: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$.
Подставим известные значения: $b^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(15°)$
$b^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(15°)$
$b^2 = 100 - 96 \cdot \cos(15°)$
Используем значение $\cos(15°) \approx 0.9659$:
$b^2 \approx 100 - 96 \cdot 0.9659 = 100 - 92.7264 = 7.2736$
$b = \sqrt{7.2736} \approx 2.70$ см.

Шаг 2: Нахождение угла по теореме синусов.
Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти один из оставшихся углов. Найдем угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$.
$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{b}$
Подставим известные и найденные значения, используя $\sin(15°) \approx 0.2588$:
$\sin(\gamma) \approx \frac{6 \cdot 0.2588}{2.70} \approx \frac{1.5528}{2.70} \approx 0.5751$
$\gamma = \arcsin(0.5751) \approx 35.11°$.

Шаг 3: Нахождение третьего угла.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\alpha = 180° - \beta - \gamma$
$\alpha \approx 180° - 15° - 35.11° = 129.89°$.

Ответ: $b \approx 2.70$ см, $\alpha \approx 129.89°$, $\gamma \approx 35.11°$.

2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°

Здесь нам нужно найти неизвестную сторону $a$ и два неизвестных угла $\beta$ и $\gamma$.

Шаг 1: Нахождение стороны a по теореме косинусов.
Теорема косинусов для стороны $a$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$.
Подставим известные значения: $a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(145°)$
$a^2 = 49 + 25 - 70 \cdot \cos(145°)$
$a^2 = 74 - 70 \cdot \cos(145°)$
Используем значение $\cos(145°) \approx -0.8192$:
$a^2 \approx 74 - 70 \cdot (-0.8192) = 74 + 57.344 = 131.344$
$a = \sqrt{131.344} \approx 11.46$ см.

Шаг 2: Нахождение угла по теореме синусов.
Используем теорему синусов, чтобы найти угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$.
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{a}$
Подставим известные и найденные значения, используя $\sin(145°) \approx 0.5736$:
$\sin(\gamma) \approx \frac{5 \cdot 0.5736}{11.46} \approx \frac{2.868}{11.46} \approx 0.2503$
$\gamma = \arcsin(0.2503) \approx 14.49°$.
Поскольку угол $\alpha = 145°$ тупой, остальные углы треугольника должны быть острыми, поэтому у $\gamma$ только одно возможное значение.

Шаг 3: Нахождение третьего угла.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\beta = 180° - \alpha - \gamma$
$\beta \approx 180° - 145° - 14.49° = 20.51°$.

Ответ: $a \approx 11.46$ см, $\beta \approx 20.51°$, $\gamma \approx 14.49°$.

120. Решите треугольник по трём сторонам:

1) $a = 4 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$, $c = 7 \text{ см}$;

2) $a = 26 \text{ см}$, $b = 19 \text{ см}$, $c = 42 \text{ см}$.

Решить треугольник по трём сторонам означает найти три его угла. Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим углы, противолежащие сторонам $a, b, c$, как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

Теорема косинусов для нахождения углов:
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

1) $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см;

Сначала проверим, существует ли треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$4 + 5 = 9 > 7$
$4 + 7 = 11 > 5$
$5 + 7 = 12 > 4$
Все неравенства выполняются, следовательно, треугольник существует.
Теперь найдем его углы.
$\cos \alpha = \frac{5^2 + 7^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35} \approx 0.8286$
$\alpha = \arccos(\frac{29}{35}) \approx 34.05^\circ$

$\cos \beta = \frac{4^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 25}{56} = \frac{40}{56} = \frac{5}{7} \approx 0.7143$
$\beta = \arccos(\frac{5}{7}) \approx 44.42^\circ$

$\cos \gamma = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -0.2$
$\gamma = \arccos(-0.2) \approx 101.53^\circ$

Проверка: $34.05^\circ + 44.42^\circ + 101.53^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны примерно $34.05^\circ, 44.42^\circ, 101.53^\circ$.

2) $a = 26$ см, $b = 19$ см, $c = 42$ см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника. Достаточно проверить, что сумма длин двух меньших сторон больше длины третьей, наибольшей стороны.
$26 + 19 = 45 > 42$
Неравенство выполняется, значит, треугольник существует.
Найдем его углы.
$\cos \alpha = \frac{19^2 + 42^2 - 26^2}{2 \cdot 19 \cdot 42} = \frac{361 + 1764 - 676}{1596} = \frac{1449}{1596} \approx 0.9079$
$\alpha = \arccos(\frac{1449}{1596}) \approx 24.79^\circ$

$\cos \beta = \frac{26^2 + 42^2 - 19^2}{2 \cdot 26 \cdot 42} = \frac{676 + 1764 - 361}{2184} = \frac{2079}{2184} \approx 0.9519$
$\beta = \arccos(\frac{2079}{2184}) \approx 17.86^\circ$

$\cos \gamma = \frac{26^2 + 19^2 - 42^2}{2 \cdot 26 \cdot 19} = \frac{676 + 361 - 1764}{988} = \frac{-727}{988} \approx -0.7358$
$\gamma = \arccos(\frac{-727}{988}) \approx 137.35^\circ$

Проверка: $24.79^\circ + 17.86^\circ + 137.35^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны примерно $24.79^\circ, 17.86^\circ, 137.35^\circ$.

121. Решите треугольник по трём сторонам:

1) $a=5 \text{ см}$, $b=6 \text{ см}$, $c=8 \text{ см}$;

2) $a=21 \text{ см}$, $b=17 \text{ см}$, $c=32 \text{ см}$.

1) Даны стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 8$ см. "Решить треугольник" означает найти все его неизвестные элементы. В данном случае это три угла: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые лежат напротив сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Прежде всего, проверим, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника. Сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны:

• $a + b > c \Rightarrow 5 + 6 > 8 \Rightarrow 11 > 8$ (верно)
• $a + c > b \Rightarrow 5 + 8 > 6 \Rightarrow 13 > 6$ (верно)
• $b + c > a \Rightarrow 6 + 8 > 5 \Rightarrow 14 > 5$ (верно)

Так как все неравенства выполняются, треугольник существует.

Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов. Формула для косинуса угла, выраженная через стороны:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения сторон для нахождения угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{6^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 25}{96} = \frac{75}{96} = \frac{25}{32} = 0.78125$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(0.78125) \approx 38.62^\circ \approx 38^\circ37'$

Аналогично найдём угол $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0.6625$

$\beta = \arccos(0.6625) \approx 48.51^\circ \approx 48^\circ31'$

Третий угол $\gamma$ можно найти из свойства о сумме углов треугольника, которая равна $180^\circ$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 38.62^\circ - 48.51^\circ \approx 92.87^\circ \approx 92^\circ52'$

Ответ: $\alpha \approx 38^\circ37'$, $\beta \approx 48^\circ31'$, $\gamma \approx 92^\circ52'$.

2) Даны стороны треугольника: $a = 21$ см, $b = 17$ см, $c = 32$ см. Найдём углы треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Проверим неравенство треугольника: $a + b > c \Rightarrow 21 + 17 > 32 \Rightarrow 38 > 32$. Неравенство выполняется, следовательно, треугольник существует (остальные проверки также верны: $21+32 > 17$ и $17+32 > 21$).

Используем теорему косинусов для нахождения углов.

Найдём угол $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{17^2 + 32^2 - 21^2}{2 \cdot 17 \cdot 32} = \frac{289 + 1024 - 441}{1088} = \frac{872}{1088} = \frac{109}{136}$

$\alpha = \arccos(\frac{109}{136}) \approx 36.73^\circ \approx 36^\circ44'$

Найдём угол $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{21^2 + 32^2 - 17^2}{2 \cdot 21 \cdot 32} = \frac{441 + 1024 - 289}{1344} = \frac{1176}{1344} = \frac{7}{8}$

$\beta = \arccos(\frac{7}{8}) \approx 28.96^\circ \approx 28^\circ57'$

Найдём угол $\gamma$ из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 36.73^\circ - 28.96^\circ \approx 114.31^\circ \approx 114^\circ19'$

Ответ: $\alpha \approx 36^\circ44'$, $\beta \approx 28^\circ57'$, $\gamma \approx 114^\circ19'$.

122. Решите треугольник, в котором:

1) $a = 10 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $\beta = 10^\circ$, угол $\alpha$ – острый;

2) $a = 10 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $\beta = 10^\circ$, угол $\alpha$ – тупой.

Для решения треугольника необходимо найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам нужно найти угол α, угол γ и сторону c.

Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $.

Подставим известные значения в соотношение для сторон a и b:

$ \frac{10}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 10°} $

Отсюда выразим $ \sin \alpha $: $ \sin \alpha = \frac{10 \cdot \sin 10°}{3} $

Используя калькулятор, найдем приближенное значение $ \sin 10° \approx 0.1736 $.

$ \sin \alpha \approx \frac{10 \cdot 0.1736}{3} \approx 0.5787 $

По условию, угол α является острым. Следовательно, мы можем найти его значение, вычислив арксинус:

$ \alpha = \arcsin(0.5787) \approx 35.4° $

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Найдем угол γ:

$ \gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 35.4° - 10° = 134.6° $

Теперь найдем длину стороны c, снова применив теорему синусов:

$ \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} $

Выразим c:

$ c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} \approx \frac{3 \cdot \sin(134.6°)}{\sin 10°} \approx \frac{3 \cdot 0.712}{0.1736} \approx 12.3 $ см.

Ответ: $ \alpha \approx 35.4°, \gamma \approx 134.6°, c \approx 12.3 $ см.

Условия задачи аналогичны первому пункту, за исключением того, что угол α является тупым.

Как мы уже выяснили в пункте 1, $ \sin \alpha \approx 0.5787 $.

Уравнение вида $ \sin x = k $, где $ 0 < k < 1 $, на интервале (0°, 180°) имеет два решения: острое $ x_1 = \arcsin(k) $ и тупое $ x_2 = 180° - \arcsin(k) $.

Острое значение угла мы нашли в первом пункте: $ \alpha_{острый} \approx 35.4° $.

Так как по условию угол α — тупой, его значение будет:

$ \alpha = 180° - \alpha_{острый} \approx 180° - 35.4° = 144.6° $

Теперь найдем угол γ, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:

$ \gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 180° - 144.6° - 10° = 25.4° $

Наконец, найдем длину стороны c по теореме синусов:

$ \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} $

$ c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} \approx \frac{3 \cdot \sin(25.4°)}{\sin 10°} \approx \frac{3 \cdot 0.4289}{0.1736} \approx 7.4 $ см.

Ответ: $ \alpha \approx 144.6°, \gamma \approx 25.4°, c \approx 7.4 $ см.