Страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окружности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду?

Чтобы найти длину хорды, зная диаметр окружности и вписанный угол, который на нее опирается, можно воспользоваться следствием из теоремы синусов. Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Обозначим:

• $c$ – искомая длина хорды;
• $D$ – известный диаметр окружности;
• $R$ – радиус окружности ($R = D/2$);
• $\alpha$ – известный вписанный угол, опирающийся на хорду $c$.

Способ 1: Через теорему синусов

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются концы хорды и вершина вписанного угла. Все три вершины этого треугольника лежат на окружности, следовательно, данная окружность является описанной для этого треугольника.
Согласно расширенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу ($2R$) описанной окружности. В нашем случае $2R$ – это диаметр $D$.
Применим эту теорему к нашему треугольнику:
$\frac{c}{\sin \alpha} = 2R$
Поскольку $2R = D$, мы можем переписать формулу как:
$\frac{c}{\sin \alpha} = D$
Выразим отсюда длину хорды $c$:
$c = D \cdot \sin \alpha$

Способ 2: Через центральный угол

Проведем радиусы к концам хорды. Получим равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются два радиуса ($R$), а основанием – наша хорда ($c$).
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $\alpha$, в два раза больше этого вписанного угла. Обозначим центральный угол как $\beta$.
$\beta = 2\alpha$
Теперь у нас есть равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\beta = 2\alpha$. Чтобы найти основание $c$, проведем в этом треугольнике высоту к основанию. Эта высота также будет являться медианой и биссектрисой.
Высота разделит центральный угол на два угла, равных $\alpha$, и хорду на два равных отрезка длиной $c/2$. Мы получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой $R$, катетом $c/2$ и противолежащим этому катету углом $\alpha$.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{c/2}{R}$
Выразим отсюда $c$:
$c/2 = R \cdot \sin \alpha$
$c = 2R \cdot \sin \alpha$
Так как $2R = D$, мы снова приходим к той же формуле:
$c = D \cdot \sin \alpha$

Таким образом, для нахождения хорды нужно умножить диаметр окружности на синус вписанного угла, который на нее опирается.

Ответ: Длина хорды ($c$) равна произведению диаметра окружности ($D$) на синус вписанного угла ($\alpha$), опирающегося на эту хорду. Формула: $c = D \cdot \sin \alpha$.

2. Сформулируйте теорему синусов.

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов.

Формулировка теоремы:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности (то есть ее диаметру).

Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, теорема синусов записывается в виде следующего равенства:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

где:

• $a, b, c$ — длины сторон треугольника,
• $\alpha, \beta, \gamma$ — углы, лежащие против сторон $a, b, c$ соответственно,
• $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ: Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длин его сторон к синусам противолежащих углов является величиной постоянной и равной диаметру описанной около треугольника окружности. Формула: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

3. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной $a$ и противолежащим этой стороне углом $\alpha$?

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используется расширенная теорема синусов. Она устанавливает, что отношение длины любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла есть величина постоянная, равная диаметру ($2R$) описанной окружности.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ теорема записывается в виде формулы:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

где $R$ — искомый радиус описанной окружности.

Согласно условию, нам известна сторона треугольника $a$ и противолежащий этой стороне угол $\alpha$. Для нахождения радиуса воспользуемся частью теоремы, связывающей эти величины:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Выразим из этого уравнения радиус $R$, разделив обе части на 2:

$ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Ответ: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

78. Найдите сторону $BC$ треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 17 (длина отрезка дана в сантиметрах).

Поскольку "рисунок 17", на который ссылается условие, отсутствует, для решения воспользуемся наиболее распространенной версией этой задачи. В ней рассматривается треугольник $ABC$ с высотой $BD$, проведенной к стороне $AC$. Заданы следующие длины: $AB = 17$ см, $AD = 15$ см, $DC = 6$ см.

Высота $BD$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сначала найдем длину высоты $BD$ из прямоугольного треугольника $ABD$, где $AB$ — гипотенуза, а $AD$ и $BD$ — катеты. Согласно теореме Пифагора:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
Выразим и вычислим $BD$:
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$BD = \sqrt{64} = 8$ см.

Далее, зная длину $BD$, найдем искомую сторону $BC$ из прямоугольного треугольника $CBD$. В этом треугольнике $BC$ — гипотенуза, а $BD$ и $DC$ — катеты. По теореме Пифагора:
$BC^2 = BD^2 + DC^2$
Подставим известные значения:
$BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.