Страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

29. Найдите неизвестную сторону треугольника DEF, если:

1) $DE = 4$ см, $DF = 2\sqrt{3}$ см, $\angle D = 30^\circ$;

2) $DF = 3$ см, $EF = 5$ см, $\angle F = 120^\circ$.

1)

Для нахождения неизвестной стороны $EF$ треугольника $DEF$ воспользуемся теоремой косинусов. По теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Нам даны стороны $DE = 4$ см, $DF = 2\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle D = 30^\circ$.

Формула теоремы косинусов для нахождения стороны $EF$ выглядит следующим образом:
$EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:
$EF^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$EF^2 = 16 + (4 \cdot 3) - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$EF^2 = 16 + 12 - \frac{16 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2}$
$EF^2 = 28 - \frac{16 \cdot 3}{2}$
$EF^2 = 28 - \frac{48}{2}$
$EF^2 = 28 - 24$
$EF^2 = 4$

Теперь найдем длину стороны $EF$, извлекая квадратный корень:
$EF = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.

2)

В этом случае нам известны стороны $DF = 3$ см, $EF = 5$ см и угол $\angle F = 120^\circ$. Требуется найти сторону $DE$, которая лежит напротив данного угла.

Снова применяем теорему косинусов, на этот раз для нахождения стороны $DE$:
$DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)$

Подставим известные значения:
$DE^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$

Выполним вычисления. Значение косинуса для $120^\circ$ равно: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$DE^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$
$DE^2 = 34 + \frac{30}{2}$
$DE^2 = 34 + 15$
$DE^2 = 49$

Находим длину стороны $DE$:
$DE = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: $7$ см.

30. Стороны треугольника равны 12 см, 20 см и 28 см. Найдите наибольший угол треугольника.

Для нахождения наибольшего угла треугольника воспользуемся следствием из теоремы косинусов. В любом треугольнике наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны.

Даны стороны треугольника: $a = 12$ см, $b = 20$ см и $c = 28$ см.

Наибольшей стороной является $c = 28$ см. Следовательно, наибольший угол $\gamma$ будет лежать напротив этой стороны.

Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим значения длин сторон в формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{12^2 + 20^2 - 28^2}{2 \cdot 12 \cdot 20}$

Выполним вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{144 + 400 - 784}{480}$

$\cos(\gamma) = \frac{544 - 784}{480}$

$\cos(\gamma) = \frac{-240}{480}$

$\cos(\gamma) = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем сам угол $\gamma$. Угол в треугольнике может быть в пределах от 0° до 180°. Значение косинуса, равное $-\frac{1}{2}$, соответствует углу 120°.

$\gamma = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

Таким образом, наибольший угол треугольника равен 120°.

Ответ: 120°.

31. Стороны треугольника равны $\sqrt{18}$ см, 5 см и 7 см. Найдите средний по величине угол треугольника.

Для того чтобы найти средний по величине угол треугольника, необходимо сначала определить, какая из сторон является средней по длине. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны — меньший угол, а против средней по длине стороны — средний по величине угол.

Стороны треугольника равны $a = \sqrt{18}$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см.

Чтобы сравнить длины сторон, сравним их квадраты:

$a^2 = (\sqrt{18})^2 = 18$

$b^2 = 5^2 = 25$

$c^2 = 7^2 = 49$

Так как $18 < 25 < 49$, то и длины сторон располагаются в следующем порядке: $\sqrt{18} < 5 < 7$.

Таким образом, средней по длине является сторона, равная 5 см. Искомый угол лежит напротив этой стороны. Обозначим этот угол $\beta$.

Для нахождения угла воспользуемся теоремой косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

Выразим косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим в формулу значения квадратов сторон и длины сторон:

$\cos(\beta) = \frac{18 + 49 - 25}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7} = \frac{42}{14\sqrt{18}}$

Упростим выражение. Сначала представим $\sqrt{18}$ как $\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$\cos(\beta) = \frac{42}{14 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{42}{42\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\beta) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем сам угол $\beta$:

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

32. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 7 см и 9 см;

2) 5 см, 12 см и 13 см;

3) 10 см, 15 см и 18 см.

Для определения типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ – стороны треугольника, причем $c$ – наибольшая сторона. В этом случае, тип треугольника определяется сравнением квадрата наибольшей стороны ($c^2$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$):

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

1) 5 см, 7 см и 9 см

Пусть $a = 5$ см, $b = 7$ см, и $c = 9$ см. Наибольшая сторона – $c=9$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Сравним полученные значения: $81 > 74$.
Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

2) 5 см, 12 см и 13 см

Пусть $a = 5$ см, $b = 12$ см, и $c = 13$ см. Наибольшая сторона – $c=13$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 13^2 = 169$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Сравним полученные значения: $169 = 169$.
Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

3) 10 см, 15 см и 18 см

Пусть $a = 10$ см, $b = 15$ см, и $c = 18$ см. Наибольшая сторона – $c=18$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 18^2 = 324$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325$.
Сравним полученные значения: $324 < 325$.
Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

33. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 7 см, 8 см и 12 см;

2) 8 см, 15 см и 17 см.

Для определения типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по известным сторонам $a$, $b$ и $c$, где $c$ — наибольшая сторона, воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Необходимо сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно теореме, обратной теореме Пифагора).
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник является тупоугольным.

1) Для треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 12 см:

Наибольшая сторона $c = 12$. Две другие стороны $a = 7$ и $b = 8$.

Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 12^2 = 144$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.

Сравним полученные значения: $144 > 113$.

Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

2) Для треугольника со сторонами 8 см, 15 см и 17 см:

Наибольшая сторона $c = 17$. Две другие стороны $a = 8$ и $b = 15$.

Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

Сравним полученные значения: $289 = 289$.

Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

34. Как с помощью одной рулетки проверить, имеет ли крышка парты форму прямоугольника?

Для того чтобы с помощью одной рулетки проверить, имеет ли крышка парты форму прямоугольника, нужно воспользоваться свойствами этой геометрической фигуры. У прямоугольника есть два ключевых свойства, которые можно проверить, измеряя только длины:

• Противоположные стороны равны.
• Диагонали равны.

Соответственно, проверка сводится к следующему алгоритму:

1. Измерение сторон. С помощью рулетки измерьте длины всех четырех сторон крышки парты. Пусть длины противоположных сторон равны $a$ и $c$, а другой пары — $b$ и $d$. Необходимо убедиться, что $a = c$ и $b = d$. Если это условие выполняется, значит, крышка имеет форму параллелограмма. Если нет, то это точно не прямоугольник.
2. Измерение диагоналей. Одного лишь равенства противоположных сторон недостаточно, так как, например, ромбоид тоже является параллелограммом, но его углы не прямые. Отличительное свойство прямоугольника от других параллелограммов — равенство его диагоналей. Измерьте рулеткой длины двух диагоналей ($d_1$ и $d_2$), то есть отрезков, соединяющих противоположные углы.
3. Вывод. Сравните полученные длины диагоналей. Если диагонали равны ($d_1 = d_2$), то данный параллелограмм является прямоугольником. Если диагонали не равны, то это не прямоугольник.

Таким образом, для окончательного вывода о том, что крышка парты является прямоугольником, должны быть выполнены оба условия: попарное равенство противоположных сторон и равенство диагоналей.

Альтернативный метод (с помощью теоремы Пифагора):

Можно проверить, является ли хотя бы один угол прямым. Для этого нужно:

1. Измерить две смежные (соседние) стороны, например, $a$ и $b$.
2. Измерить диагональ $d$, соединяющую их несмежные концы.
3. Проверить, выполняется ли равенство, следующее из теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.

Если равенство выполняется, то угол между сторонами $a$ и $b$ прямой. Если при этом известно, что противоположные стороны крышки попарно равны (то есть фигура — параллелограмм), то и остальные углы будут прямыми, а значит, фигура — прямоугольник. Этот метод менее практичен, так как требует вычислений.

Ответ: Необходимо измерить рулеткой длины четырех сторон и двух диагоналей крышки парты. Если противоположные стороны попарно равны и диагонали также равны, то крышка имеет форму прямоугольника.

35. Стороны параллелограмма равны $2\sqrt{2}$ см и 5 см, а один из его углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 5$ см. Один из углов параллелограмма равен $\alpha = 45^{\circ}$. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$, то второй угол равен $\beta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Диагональ параллелограмма является третьей стороной треугольника, образованного двумя смежными сторонами параллелограмма.

Найдем первую диагональ, $d_1$, которая лежит напротив угла $\alpha = 45^{\circ}$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
Подставим известные значения:
$d_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \cos(45^{\circ})$
$d_1^2 = 8 + 25 - 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 33 - \frac{20 \cdot 2}{2}$
$d_1^2 = 33 - 20 = 13$
$d_1 = \sqrt{13}$ см.

Теперь найдем вторую диагональ, $d_2$, которая лежит напротив угла $\beta = 135^{\circ}$.
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Подставим известные значения. Учтем, что $\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$d_2^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \cos(135^{\circ})$
$d_2^2 = 8 + 25 - 20\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$d_2^2 = 33 + \frac{20 \cdot 2}{2}$
$d_2^2 = 33 + 20 = 53$
$d_2 = \sqrt{53}$ см.

Ответ: $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{53}$ см.

36. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $BC = 3$ см, $AD = 10$ см, $CD = 4$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. По условию задачи известны длины оснований $BC = 3$ см, $AD = 10$ см, длина боковой стороны $CD = 4$ см и угол при большем основании $\angle D = 60^\circ$.

Для нахождения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$ разобьем решение на два этапа.

Нахождение диагонали AC

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. В нем известны длины двух сторон $AD=10$ см, $CD=4$ см и угол между ними $\angle D = 60^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов: $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу: $AC^2 = 10^2 + 4^2 - 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$ $AC^2 = 100 + 16 - 80 \cdot \frac{1}{2}$ $AC^2 = 116 - 40$ $AC^2 = 76$ $AC = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Нахождение диагонали BD

Чтобы найти длину диагонали $BD$, проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BK$ и $CH$ на основание $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Высота трапеции $CH$ равна: $CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина отрезка $HD$ (проекция стороны $CD$ на основание $AD$) равна: $HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Так как $BCKH$ — прямоугольник (поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BK, CH$ перпендикулярны $AD$), то $BK = CH = 2\sqrt{3}$ см и $KH = BC = 3$ см.

Теперь найдем длину отрезка $KD$ на основании $AD$. Он состоит из двух частей: $KH$ и $HD$. $KD = KH + HD = 3 + 2 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKD$. Его катеты равны $BK = 2\sqrt{3}$ см и $KD = 5$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$: $BD^2 = BK^2 + KD^2$ $BD^2 = (2\sqrt{3})^2 + 5^2 = (4 \cdot 3) + 25 = 12 + 25 = 37$ $BD = \sqrt{37}$ см.

Ответ: $AC = 2\sqrt{19}$ см, $BD = \sqrt{37}$ см.

37. На стороне $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD : DB = 2 : 1$. Найдите отрезок $CD$, если $AB = 6$ см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.

Дано, что длина стороны $AB = 6$ см. Следовательно, $AC = BC = 6$ см, и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$ и делит её в отношении $AD : DB = 2 : 1$. Это значит, что длина отрезка $AB$ состоит из $2+1=3$ частей.

Найдем длину каждой части:

$6 \text{ см} / 3 = 2 \text{ см}$.

Следовательно, длины отрезков $AD$ и $DB$ равны:

$AD = 2 \cdot 2 = 4$ см.

$DB = 1 \cdot 2 = 2$ см.

Для нахождения длины отрезка $CD$ рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC=6$ см и $AD=4$ см) и угол между ними ($\angle A = 60^\circ$).

Воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к треугольнику $ADC$ формула выглядит так:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$CD^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 52 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 52 - 24$

$CD^2 = 28$

Чтобы найти длину $CD$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$CD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.

38. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : BM = 1 : 3$. Найдите отрезок $CM$, если $AC = BC = 4$ см.

Поскольку $AB$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$, то угол $C$ — прямой, $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как его катеты равны: $AC = BC = 4$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Точка $M$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $AM : BM = 1 : 3$. Найдем длину отрезка $AM$. Весь отрезок $AB$ состоит из $1+3=4$ частей, из которых на $AM$ приходится одна часть.

$AM = \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ углы при основании (гипотенузе) равны:

$\angle CAB = \angle CBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $AMC$. Нам известны две его стороны $AC = 4$ см, $AM = \sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle CAM = \angle CAB = 45^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны $CM$ воспользуемся теоремой косинусов:

$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle CAM)$

Подставим известные значения:

$CM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, продолжаем вычисления:

$CM^2 = 16 + 2 - 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CM^2 = 18 - \frac{8 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$CM^2 = 18 - \frac{8 \cdot 2}{2}$

$CM^2 = 18 - 8 = 10$

Отсюда находим длину отрезка $CM$:

$CM = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{10}$ см.

39. Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен $\frac{\sqrt{35}}{6}$. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть даны две стороны треугольника $a = 3$ см и $b = 4$ см, и синус угла $\gamma$ между ними $\sin \gamma = \frac{\sqrt{35}}{6}$. Третью сторону $c$ можно найти с помощью теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Для применения этой формулы необходимо найти значение $\cos \gamma$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Отсюда выразим $\cos^2 \gamma$:

$\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$

Подставим данное значение синуса:

$\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{36-35}{36} = \frac{1}{36}$

Из этого следует, что $\cos \gamma$ может иметь два возможных значения:

$\cos \gamma = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$

или

$\cos \gamma = -\sqrt{\frac{1}{36}} = -\frac{1}{6}$

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$, где косинус положителен), так и тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$, где косинус отрицателен), оба значения для $\cos \gamma$ являются допустимыми. Это означает, что задача имеет два решения. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ — острый ($\cos \gamma = \frac{1}{6}$)

Подставляем значение косинуса в теорему косинусов, чтобы найти первую возможную длину третьей стороны $c_1$:

$c_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6}$

$c_1^2 = 9 + 16 - \frac{24}{6}$

$c_1^2 = 25 - 4 = 21$

$c_1 = \sqrt{21}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ — тупой ($\cos \gamma = -\frac{1}{6}$)

Подставляем второе значение косинуса, чтобы найти вторую возможную длину третьей стороны $c_2$:

$c_2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)$

$c_2^2 = 9 + 16 + \frac{24}{6}$

$c_2^2 = 25 + 4 = 29$

$c_2 = \sqrt{29}$ см.

Таким образом, существуют два возможных треугольника, удовлетворяющих условиям задачи, и третья сторона может быть равна $\sqrt{21}$ см или $\sqrt{29}$ см.

Ответ: третья сторона равна $\sqrt{21}$ см или $\sqrt{29}$ см; задача имеет 2 решения.

40. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 20$ см, $BC = 15$ см. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $BM = 4$ см. Найдите отрезок $CM$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, используя известные длины катетов $AC = 20$ см и $BC = 15$ см.

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$

$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Для нахождения длины искомого отрезка $CM$ рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $BC = 15$ см (по условию) и $BM = 4$ см (по условию). Мы можем найти длину третьей стороны $CM$ по теореме косинусов, если будем знать угол между известными сторонами, то есть угол $B$.

Найдем косинус угла $B$ из прямоугольного треугольника $ABC$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BCM$:

$CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим в эту формулу все известные значения:

$CM^2 = 15^2 + 4^2 - 2 \cdot 15 \cdot 4 \cdot \frac{3}{5}$

$CM^2 = 225 + 16 - \frac{2 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 3}{5}$

$CM^2 = 241 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3$

$CM^2 = 241 - 72$

$CM^2 = 169$

Следовательно, длина отрезка $CM$ равна:

$CM = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

41. На продолжении гипотенузы $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $D$ так, что $BD = BC$. Найдите отрезок $CD$, если катет треугольника $ABC$ равен $a$.

Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC = a$. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны по $45^\circ$, следовательно, $\angle ABC = \angle BAC = 45^\circ$.

Точка $D$ лежит на продолжении гипотенузы $AB$ за точку $B$. Это означает, что угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти величину угла $\angle CBD$:$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

По условию задачи, длина отрезка $BD$ равна длине катета $BC$, то есть $BD = BC = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($BC=a$ и $BD=a$) и угол между ними ($\angle CBD = 135^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, мы можем применить теорему косинусов.

Согласно теореме косинусов, для треугольника $BCD$ справедливо равенство:$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения в формулу:$CD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$$CD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(135^\circ)$

Вычислим значение косинуса $135^\circ$. Используя формулу приведения, получаем:$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $CD^2$:$CD^2 = 2a^2 - 2a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$CD^2 = 2a^2 + \frac{2a^2\sqrt{2}}{2}$$CD^2 = 2a^2 + a^2\sqrt{2}$$CD^2 = a^2(2 + \sqrt{2})$

Чтобы найти длину отрезка $CD$, извлечем квадратный корень из полученного выражения:$CD = \sqrt{a^2(2 + \sqrt{2})}$$CD = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

42. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AB = 13$ см, $AC = 12$ см.

На продолжении гипотенузы $AB$ за точку $B$ отметили точку $D$ так, что $BD = 26$ см. Найдите отрезок $CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем катет $BC$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Точка $D$ лежит на продолжении гипотенузы $AB$ за точку $B$, следовательно, точки $A$, $B$, $D$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BD$:

$AD = AB + BD = 13 + 26 = 39$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. В нем известны длины двух сторон $AC = 12$ см и $AD = 39$ см. Для нахождения стороны $CD$ воспользуемся теоремой косинусов:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

Угол $\angle CAD$ — это тот же угол, что и $\angle CAB$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Найдем его косинус:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$

Подставим все известные значения в формулу теоремы косинусов:

$CD^2 = 12^2 + 39^2 - 2 \cdot 12 \cdot 39 \cdot \frac{12}{13}$

$CD^2 = 144 + 1521 - 2 \cdot 12 \cdot \frac{39}{13} \cdot 12$

$CD^2 = 1665 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 12$

$CD^2 = 1665 - 864$

$CD^2 = 801$

$CD = \sqrt{801} = \sqrt{9 \cdot 89} = 3\sqrt{89}$ см.

Ответ: $3\sqrt{89}$ см.

43. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от концов гипотенузы на $a$ см и $b$ см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $I$ — центр вписанной в него окружности (инцентр). Гипотенузой является сторона $AB$.

По условию задачи, расстояния от центра вписанной окружности до концов гипотенузы равны $a$ и $b$. Это означает, что длины отрезков, соединяющих инцентр с вершинами при гипотенузе, равны $IA = a$ и $IB = b$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $IA$ является биссектрисой угла $\angle CAB$, а отрезок $IB$ — биссектрисой угла $\angle CBA$.

Обозначим величины острых углов треугольника $ABC$ как $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Поскольку треугольник прямоугольный, сумма его острых углов равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Рассмотрим треугольник $AIB$. Так как $IA$ и $IB$ — биссектрисы, то углы этого треугольника $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$. Отсюда мы можем найти угол $\angle AIB$:

$\angle AIB = 180^\circ - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Подставим в это выражение известное нам значение суммы $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\angle AIB = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Теперь в треугольнике $AIB$ известны две стороны ($IA=a$, $IB=b$) и угол между ними ($\angle AIB = 135^\circ$). Третья сторона этого треугольника, $AB$, является искомой гипотенузой. Для её нахождения воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = IA^2 + IB^2 - 2 \cdot IA \cdot IB \cdot \cos(\angle AIB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(135^\circ)$

Значение косинуса $135^\circ$ можно вычислить как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$

Таким образом, длина гипотенузы $AB$ равна корню из полученного выражения:

$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}$

Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}$ см.