Номер 43, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

43. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от концов гипотенузы на $a$ см и $b$ см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $I$ — центр вписанной в него окружности (инцентр). Гипотенузой является сторона $AB$.

По условию задачи, расстояния от центра вписанной окружности до концов гипотенузы равны $a$ и $b$. Это означает, что длины отрезков, соединяющих инцентр с вершинами при гипотенузе, равны $IA = a$ и $IB = b$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $IA$ является биссектрисой угла $\angle CAB$, а отрезок $IB$ — биссектрисой угла $\angle CBA$.

Обозначим величины острых углов треугольника $ABC$ как $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Поскольку треугольник прямоугольный, сумма его острых углов равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Рассмотрим треугольник $AIB$. Так как $IA$ и $IB$ — биссектрисы, то углы этого треугольника $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$. Отсюда мы можем найти угол $\angle AIB$:

$\angle AIB = 180^\circ - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Подставим в это выражение известное нам значение суммы $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\angle AIB = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Теперь в треугольнике $AIB$ известны две стороны ($IA=a$, $IB=b$) и угол между ними ($\angle AIB = 135^\circ$). Третья сторона этого треугольника, $AB$, является искомой гипотенузой. Для её нахождения воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = IA^2 + IB^2 - 2 \cdot IA \cdot IB \cdot \cos(\angle AIB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(135^\circ)$

Значение косинуса $135^\circ$ можно вычислить как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$

Таким образом, длина гипотенузы $AB$ равна корню из полученного выражения:

$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}$

Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}$ см.