Номер 39, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

39. Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен $\frac{\sqrt{35}}{6}$. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть даны две стороны треугольника $a = 3$ см и $b = 4$ см, и синус угла $\gamma$ между ними $\sin \gamma = \frac{\sqrt{35}}{6}$. Третью сторону $c$ можно найти с помощью теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Для применения этой формулы необходимо найти значение $\cos \gamma$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Отсюда выразим $\cos^2 \gamma$:

$\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$

Подставим данное значение синуса:

$\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{36-35}{36} = \frac{1}{36}$

Из этого следует, что $\cos \gamma$ может иметь два возможных значения:

$\cos \gamma = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$

или

$\cos \gamma = -\sqrt{\frac{1}{36}} = -\frac{1}{6}$

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$, где косинус положителен), так и тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$, где косинус отрицателен), оба значения для $\cos \gamma$ являются допустимыми. Это означает, что задача имеет два решения. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ — острый ($\cos \gamma = \frac{1}{6}$)

Подставляем значение косинуса в теорему косинусов, чтобы найти первую возможную длину третьей стороны $c_1$:

$c_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6}$

$c_1^2 = 9 + 16 - \frac{24}{6}$

$c_1^2 = 25 - 4 = 21$

$c_1 = \sqrt{21}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ — тупой ($\cos \gamma = -\frac{1}{6}$)

Подставляем второе значение косинуса, чтобы найти вторую возможную длину третьей стороны $c_2$:

$c_2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)$

$c_2^2 = 9 + 16 + \frac{24}{6}$

$c_2^2 = 25 + 4 = 29$

$c_2 = \sqrt{29}$ см.

Таким образом, существуют два возможных треугольника, удовлетворяющих условиям задачи, и третья сторона может быть равна $\sqrt{21}$ см или $\sqrt{29}$ см.

Ответ: третья сторона равна $\sqrt{21}$ см или $\sqrt{29}$ см; задача имеет 2 решения.