Номер 32, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

32. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:

1) 5 см, 7 см и 9 см;

2) 5 см, 12 см и 13 см;

3) 10 см, 15 см и 18 см.

Для определения типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ – стороны треугольника, причем $c$ – наибольшая сторона. В этом случае, тип треугольника определяется сравнением квадрата наибольшей стороны ($c^2$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$):

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

1) 5 см, 7 см и 9 см

Пусть $a = 5$ см, $b = 7$ см, и $c = 9$ см. Наибольшая сторона – $c=9$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Сравним полученные значения: $81 > 74$.
Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

2) 5 см, 12 см и 13 см

Пусть $a = 5$ см, $b = 12$ см, и $c = 13$ см. Наибольшая сторона – $c=13$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 13^2 = 169$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Сравним полученные значения: $169 = 169$.
Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

3) 10 см, 15 см и 18 см

Пусть $a = 10$ см, $b = 15$ см, и $c = 18$ см. Наибольшая сторона – $c=18$ см.
Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 18^2 = 324$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325$.
Сравним полученные значения: $324 < 325$.
Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.