Номер 28, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

28. Найдите неизвестную сторону треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 3 \text{ см}$, $AC = 2\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle A = 135^\circ$.

1) Для нахождения неизвестной стороны треугольника $AC$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула для нашего случая выглядит так:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB = 5$ см, $BC = 8$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

$AC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 89 - 40$

$AC^2 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

2) Для нахождения неизвестной стороны треугольника $BC$ также воспользуемся теоремой косинусов. В данном случае формула будет выглядеть так:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB = 3$ см, $AC = 2\sqrt{2}$ см, $\angle A = 135^\circ$.

Найдем значение косинуса угла $135^\circ$: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$

$BC^2 = 9 + (4 \cdot 2) - 12\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$BC^2 = 9 + 8 + \frac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 17 + \frac{12 \cdot 2}{2}$

$BC^2 = 17 + 12$

$BC^2 = 29$

$BC = \sqrt{29}$ см.

Ответ: $\sqrt{29}$ см.