Номер 26, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

26. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$, $AB = 10$ см. Найдите сторону $BC$.

Поскольку $BD$ — высота в треугольнике $ABC$, она проведена перпендикулярно стороне $AC$. Таким образом, высота делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. В этих треугольниках углы при вершине $D$ прямые: $\angle BDA = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. В нём известна гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий к ней острый угол $\angle A = 60^\circ$. Высота $BD$ является катетом, противолежащим углу $A$. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$

Из этой формулы выразим длину высоты $BD$:
$BD = AB \cdot \sin(\angle A)$
Подставим известные значения:
$BD = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $\triangle BCD$. В нём нам известен катет $BD = 5\sqrt{3}$ см и острый угол $\angle C = 45^\circ$. Искомая сторона $BC$ является гипотенузой этого треугольника, а катет $BD$ — противолежащим углу $C$. Снова применим определение синуса:
$\sin(\angle C) = \frac{BD}{BC}$

Выразим из этого соотношения искомую сторону $BC$:
$BC = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$
Подставим известные нам величины:
$BC = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим полученное выражение, для этого умножим числитель на перевернутую дробь из знаменателя, а затем избавимся от иррациональности в знаменателе:
$BC = \frac{5\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.