Номер 23, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

23. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $∠A$ — острый угол, а $∠B$ — тупой. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AD$.

По условию задачи имеем:

• Высота $BH = 5$ см.
• Точка $H$ является серединой стороны $AD$, то есть $AH = HD$.
• Острый угол $∠A = 30°$.

Для решения задачи сначала найдем длины сторон параллелограмма. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABH$. Катет $BH$, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы $AB$.

$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет $AH$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Так как $H$ — середина $AD$, то $HD = AH = 5\sqrt{3}$ см. Длина всей стороны $AD$ равна:

$AD = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла

Искомая диагональ — это $BD$. Её длину можно найти из прямоугольного треугольника $ΔBHD$ по теореме Пифагора, зная его катеты $BH = 5$ см и $HD = 5\sqrt{3}$ см.

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 25 \cdot 3 = 25 + 75 = 100$

$BD = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

...и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма

Требуется найти углы $∠ABD$ и $∠CBD$.

Рассмотрим треугольник $ΔABD$. Мы нашли, что его стороны $AB = 10$ см и $BD = 10$ см. Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным с основанием $AD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:

$∠ADB = ∠A = 30°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем угол $∠ABD$:

$∠ABD = 180° - (∠A + ∠ADB) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$.

Теперь найдем угол $∠CBD$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Значит, тупой угол параллелограмма $∠ABC$ равен:

$∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 30° = 150°$.

Этот угол состоит из двух углов $∠ABD$ и $∠CBD$. Тогда:

$∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 150° - 120° = 30°$.

Таким образом, диагональ образует со сторонами параллелограмма углы $120°$ и $30°$.

Ответ: $120°$ и $30°$.