Номер 16, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. Чему равно значение выражения:

1) $2\sin 150^{\circ} - 4\cos 120^{\circ};$

2) $\text{tg } 45^{\circ} \sin 120^{\circ} \text{ctg } 150^{\circ};$

3) $\sin 90^{\circ}(\text{tg } 150^{\circ} \cos 135^{\circ} - \text{tg } 120^{\circ} \cos 135^{\circ})^2?$

1) $2\sin 150^\circ - 4\cos 120^\circ$

Для решения этого выражения, сначала найдем значения тригонометрических функций для данных углов, используя формулы приведения.

Значение $\sin 150^\circ$:

$150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Угол приведения $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Значение $\cos 120^\circ$:

$120^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Угол приведения $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\sin 150^\circ - 4\cos 120^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Ответ: $3$

2) $\tan 45^\circ \sin 120^\circ \cot 150^\circ$

Найдем значения каждой тригонометрической функции в выражении.

Значение $\tan 45^\circ$ является табличным:

$\tan 45^\circ = 1$

Значение $\sin 120^\circ$ найдем по формуле приведения:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\cot 150^\circ$ найдем по формуле приведения:

$\cot 150^\circ = \cot(180^\circ - 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}$

Перемножим полученные значения:

$\tan 45^\circ \sin 120^\circ \cot 150^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}$

3) $\sin 90^\circ (\tan 150^\circ \cos 135^\circ - \tan 120^\circ \cos 135^\circ)^2$

Сначала найдем значения тригонометрических функций.

$\sin 90^\circ = 1$

$\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $\cos 135^\circ$ за скобки:

$\tan 150^\circ \cos 135^\circ - \tan 120^\circ \cos 135^\circ = \cos 135^\circ (\tan 150^\circ - \tan 120^\circ)$

Подставим значения:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\sqrt{3})\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6})^2}{3^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Наконец, умножим на $\sin 90^\circ$:

$\sin 90^\circ \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$