Номер 20, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

20. Найдите сумму квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По определению прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Подставив значение $\gamma$, получим $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$, или $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Требуется найти сумму квадратов косинусов всех углов, то есть величину $S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma)$.
Подставим в это выражение известные нам соотношения для углов:$S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(90^\circ - \alpha) + \cos^2(90^\circ)$.
Используем известные тригонометрические свойства: $\cos(90^\circ) = 0$ и формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.Тогда выражение для суммы примет вид:$S = \cos^2(\alpha) + (\sin(\alpha))^2 + 0^2$
$S = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.Таким образом, искомая сумма равна 1.

Эту же задачу можно решить и другим способом. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, — это $\alpha$ и $\beta$. Прямой угол равен $90^\circ$.По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе),$\cos(\beta) = \frac{a}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе),$\cos(90^\circ) = 0$.
Сумма квадратов косинусов равна:$S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(90^\circ) = (\frac{b}{c})^2 + (\frac{a}{c})^2 + 0^2 = \frac{b^2}{c^2} + \frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо равенство $a^2 + b^2 = c^2$.Подставив это в наше выражение, получаем:$S = \frac{c^2}{c^2} = 1$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1