Страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

19. Найдите сумму квадратов синусов всех углов прямоугольного треугольника.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По определению прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, для прямоугольного треугольника имеем:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Подставив значение прямого угла, получаем:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда следует, что сумма двух острых углов равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить один острый угол через другой: $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Требуется найти сумму квадратов синусов всех углов, то есть величину $S$:

$S = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)$

Подставим в это выражение известные нам значения и соотношения:

$S = \sin^2(\alpha) + \sin^2(90^\circ - \alpha) + \sin^2(90^\circ)$

Теперь используем известные тригонометрические свойства:

1. Формулу приведения: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\sin^2(90^\circ - \alpha) = \cos^2(\alpha)$.

2. Значение синуса прямого угла: $\sin(90^\circ) = 1$. Следовательно, $\sin^2(90^\circ) = 1^2 = 1$.

Подставляем эти значения обратно в формулу для суммы:

$S = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

В результате получаем:

$S = 1 + 1 = 2$

Таким образом, сумма квадратов синусов всех углов любого прямоугольного треугольника является постоянной величиной и равна 2.

Ответ: 2

20. Найдите сумму квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По определению прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Подставив значение $\gamma$, получим $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$, или $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Требуется найти сумму квадратов косинусов всех углов, то есть величину $S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma)$.
Подставим в это выражение известные нам соотношения для углов:$S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(90^\circ - \alpha) + \cos^2(90^\circ)$.
Используем известные тригонометрические свойства: $\cos(90^\circ) = 0$ и формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.Тогда выражение для суммы примет вид:$S = \cos^2(\alpha) + (\sin(\alpha))^2 + 0^2$
$S = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.Таким образом, искомая сумма равна 1.

Эту же задачу можно решить и другим способом. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, — это $\alpha$ и $\beta$. Прямой угол равен $90^\circ$.По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе),$\cos(\beta) = \frac{a}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе),$\cos(90^\circ) = 0$.
Сумма квадратов косинусов равна:$S = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(90^\circ) = (\frac{b}{c})^2 + (\frac{a}{c})^2 + 0^2 = \frac{b^2}{c^2} + \frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо равенство $a^2 + b^2 = c^2$.Подставив это в наше выражение, получаем:$S = \frac{c^2}{c^2} = 1$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1

21. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B = 60^\circ$, точка $O$ – центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла $AOC$?

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, а отрезок $CO$ — биссектрисой угла $BCA$.

Это означает, что $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

По условию задачи $\angle ABC = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов:$\angle BAC + 60^\circ + \angle BCA = 180^\circ$.Отсюда найдем сумму углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$:$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$.

Мы можем выразить сумму углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$ через сумму углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$:$\angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle BCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Подставим найденное ранее значение суммы углов:$\angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle AOC$:$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Требуется найти косинус угла $AOC$.$\cos(\angle AOC) = \cos(120^\circ)$.

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

22. Точка $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $\cos \angle BOC = - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите угол $A$ треугольника.

По условию задачи, точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, отрезки $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно. Это означает, что:

$\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}\angle B$

$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}\angle C$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Нам дано значение косинуса угла $BOC$: $\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\angle BOC$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $150^\circ$.

Итак, $\angle BOC = 150^\circ$.

Теперь подставим известное значение угла $\angle BOC$ в уравнение суммы углов треугольника $BOC$:

$150^\circ + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Выразим сумму углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:

$\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Теперь заменим $\angle OBC$ и $\angle OCB$ на их выражения через углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$:

$\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 30^\circ$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму углов $B$ и $C$:

$\angle B + \angle C = 60^\circ$

Наконец, используем свойство суммы углов для всего треугольника $ABC$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Подставим найденное значение суммы $\angle B + \angle C$:

$\angle A + 60^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $A$:

$\angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

23. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $∠A$ — острый угол, а $∠B$ — тупой. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AD$.

По условию задачи имеем:

• Высота $BH = 5$ см.
• Точка $H$ является серединой стороны $AD$, то есть $AH = HD$.
• Острый угол $∠A = 30°$.

Для решения задачи сначала найдем длины сторон параллелограмма. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABH$. Катет $BH$, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы $AB$.

$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет $AH$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Так как $H$ — середина $AD$, то $HD = AH = 5\sqrt{3}$ см. Длина всей стороны $AD$ равна:

$AD = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла

Искомая диагональ — это $BD$. Её длину можно найти из прямоугольного треугольника $ΔBHD$ по теореме Пифагора, зная его катеты $BH = 5$ см и $HD = 5\sqrt{3}$ см.

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 25 \cdot 3 = 25 + 75 = 100$

$BD = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

...и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма

Требуется найти углы $∠ABD$ и $∠CBD$.

Рассмотрим треугольник $ΔABD$. Мы нашли, что его стороны $AB = 10$ см и $BD = 10$ см. Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным с основанием $AD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:

$∠ADB = ∠A = 30°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем угол $∠ABD$:

$∠ABD = 180° - (∠A + ∠ADB) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$.

Теперь найдем угол $∠CBD$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Значит, тупой угол параллелограмма $∠ABC$ равен:

$∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 30° = 150°$.

Этот угол состоит из двух углов $∠ABD$ и $∠CBD$. Тогда:

$∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 150° - 120° = 30°$.

Таким образом, диагональ образует со сторонами параллелограмма углы $120°$ и $30°$.

Ответ: $120°$ и $30°$.

24. Прямая CE параллельна боковой стороне AB трапеции ABCD и делит основание AD на отрезки AE и DE такие, что $AE = 7 \text{ см}$, $DE = 10 \text{ см}$. Найдите среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Обозначим среднюю линию как $m$, а основания трапеции $ABCD$ как $AD$ и $BC$. Формула для нахождения средней линии:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Для вычисления средней линии нам необходимо найти длины обоих оснований.

1. Найдем длину основания AD.

По условию, точка $E$ лежит на основании $AD$ и делит его на отрезки $AE = 7$ см и $DE = 10$ см. Длина всего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков:

$AD = AE + DE = 7 \text{ см} + 10 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

2. Найдем длину основания BC.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По определению трапеции, основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Так как точка $E$ лежит на $AD$, то $BC \parallel AE$.

По условию задачи, прямая $CE$ параллельна боковой стороне $AB$ ($CE \parallel AB$).

Поскольку у четырехугольника $ABCE$ противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel AE$ и $AB \parallel CE$), то по определению $ABCE$ является параллелограммом.

Одним из свойств параллелограмма является равенство противолежащих сторон. Следовательно, $BC = AE$.

Так как $AE = 7$ см, то $BC = 7$ см.

3. Найдем среднюю линию трапеции.

Теперь, зная длины обоих оснований ($AD = 17$ см и $BC = 7$ см), мы можем вычислить длину средней линии $m$:

$m = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

25. Две стороны треугольника равны 8 см и 11 см. Может ли угол, противолежащий стороне длиной 8 см, быть:

1) тупым;

2) прямым? Ответ обоснуйте.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Пусть стороны треугольника равны $a=8$ см и $b=11$ см, а углы, противолежащие им, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Поскольку $8 < 11$ (т.е. $a < b$), то и угол $\alpha$ должен быть меньше угла $\beta$ ($\alpha < \beta$).

1) тупым

Предположим, что угол, противолежащий стороне длиной 8 см, может быть тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^{\circ}$. В треугольнике может быть только один тупой угол, и он всегда будет наибольшим углом треугольника. Если бы угол $\alpha$ был тупым, то он был бы наибольшим углом треугольника. Тогда противолежащая ему сторона $a=8$ см должна быть наибольшей стороной. Однако в треугольнике есть сторона $b=11$ см, которая больше, чем 8 см. Это противоречит свойству треугольника, согласно которому напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: нет, не может.

2) прямым

Предположим, что угол, противолежащий стороне длиной 8 см, может быть прямым. Прямой угол равен $90^{\circ}$. В треугольнике может быть только один прямой угол, и он также является наибольшим углом (два других угла острые, их сумма равна $90^{\circ}$). Если бы угол $\alpha$ был прямым, то он был бы наибольшим углом, а противолежащая ему сторона $a=8$ см (гипотенуза) должна была бы быть наибольшей стороной в треугольнике. Но в треугольнике есть сторона $b=11$ см, которая длиннее стороны $a$. Это противоречит свойству прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: нет, не может.

26. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$, $AB = 10$ см. Найдите сторону $BC$.

Поскольку $BD$ — высота в треугольнике $ABC$, она проведена перпендикулярно стороне $AC$. Таким образом, высота делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. В этих треугольниках углы при вершине $D$ прямые: $\angle BDA = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. В нём известна гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий к ней острый угол $\angle A = 60^\circ$. Высота $BD$ является катетом, противолежащим углу $A$. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$

Из этой формулы выразим длину высоты $BD$:
$BD = AB \cdot \sin(\angle A)$
Подставим известные значения:
$BD = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $\triangle BCD$. В нём нам известен катет $BD = 5\sqrt{3}$ см и острый угол $\angle C = 45^\circ$. Искомая сторона $BC$ является гипотенузой этого треугольника, а катет $BD$ — противолежащим углу $C$. Снова применим определение синуса:
$\sin(\angle C) = \frac{BD}{BC}$

Выразим из этого соотношения искомую сторону $BC$:
$BC = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$
Подставим известные нам величины:
$BC = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим полученное выражение, для этого умножим числитель на перевернутую дробь из знаменателя, а затем избавимся от иррациональности в знаменателе:
$BC = \frac{5\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

27. Найдите высоту $BD$ треугольника $ABC$ и проекцию стороны $AB$ на прямую $AC$, если $\angle BAC = 150^\circ$, $AB = 12$ см.

Поскольку угол $ \angle BAC = 150^\circ $ является тупым, высота $ BD $, опущенная из вершины $ B $ на прямую, содержащую сторону $ AC $, будет лежать вне треугольника $ ABC $. Основание высоты, точка $ D $, будет находиться на продолжении стороны $ AC $ за точкой $ A $. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $ \triangle ABD $, в котором $ \angle BDA = 90^\circ $.

Угол $ \angle BAD $ является смежным с углом $ \angle BAC $, поэтому их сумма составляет $ 180^\circ $. Вычислим величину угла $ \angle BAD $:

$ \angle BAD = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABD $ с гипотенузой $ AB = 12 $ см и острым углом $ \angle BAD = 30^\circ $.

Высота BD

Высота $ BD $ является катетом, противолежащим углу $ \angle BAD = 30^\circ $. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$ \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB} $

Выразим отсюда длину $ BD $:

$ BD = AB \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

Проекция стороны AB на прямую AC

Проекцией стороны $ AB $ на прямую $ AC $ является отрезок $ AD $. В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABD $ этот отрезок является катетом, прилежащим к углу $ \angle BAD = 30^\circ $. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB} $

Выразим отсюда длину $ AD $:

$ AD = AB \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

Ответ: $ 6\sqrt{3} $ см.