Номер 25, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

25. Две стороны треугольника равны 8 см и 11 см. Может ли угол, противолежащий стороне длиной 8 см, быть:

1) тупым;

2) прямым? Ответ обоснуйте.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Пусть стороны треугольника равны $a=8$ см и $b=11$ см, а углы, противолежащие им, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Поскольку $8 < 11$ (т.е. $a < b$), то и угол $\alpha$ должен быть меньше угла $\beta$ ($\alpha < \beta$).

1) тупым

Предположим, что угол, противолежащий стороне длиной 8 см, может быть тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^{\circ}$. В треугольнике может быть только один тупой угол, и он всегда будет наибольшим углом треугольника. Если бы угол $\alpha$ был тупым, то он был бы наибольшим углом треугольника. Тогда противолежащая ему сторона $a=8$ см должна быть наибольшей стороной. Однако в треугольнике есть сторона $b=11$ см, которая больше, чем 8 см. Это противоречит свойству треугольника, согласно которому напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: нет, не может.

2) прямым

Предположим, что угол, противолежащий стороне длиной 8 см, может быть прямым. Прямой угол равен $90^{\circ}$. В треугольнике может быть только один прямой угол, и он также является наибольшим углом (два других угла острые, их сумма равна $90^{\circ}$). Если бы угол $\alpha$ был прямым, то он был бы наибольшим углом, а противолежащая ему сторона $a=8$ см (гипотенуза) должна была бы быть наибольшей стороной в треугольнике. Но в треугольнике есть сторона $b=11$ см, которая длиннее стороны $a$. Это противоречит свойству прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: нет, не может.