Номер 29, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

29. Найдите неизвестную сторону треугольника DEF, если:

1) $DE = 4$ см, $DF = 2\sqrt{3}$ см, $\angle D = 30^\circ$;

2) $DF = 3$ см, $EF = 5$ см, $\angle F = 120^\circ$.

1)

Для нахождения неизвестной стороны $EF$ треугольника $DEF$ воспользуемся теоремой косинусов. По теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Нам даны стороны $DE = 4$ см, $DF = 2\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle D = 30^\circ$.

Формула теоремы косинусов для нахождения стороны $EF$ выглядит следующим образом:
$EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:
$EF^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$EF^2 = 16 + (4 \cdot 3) - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$EF^2 = 16 + 12 - \frac{16 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2}$
$EF^2 = 28 - \frac{16 \cdot 3}{2}$
$EF^2 = 28 - \frac{48}{2}$
$EF^2 = 28 - 24$
$EF^2 = 4$

Теперь найдем длину стороны $EF$, извлекая квадратный корень:
$EF = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.

2)

В этом случае нам известны стороны $DF = 3$ см, $EF = 5$ см и угол $\angle F = 120^\circ$. Требуется найти сторону $DE$, которая лежит напротив данного угла.

Снова применяем теорему косинусов, на этот раз для нахождения стороны $DE$:
$DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)$

Подставим известные значения:
$DE^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$

Выполним вычисления. Значение косинуса для $120^\circ$ равно: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$DE^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$
$DE^2 = 34 + \frac{30}{2}$
$DE^2 = 34 + 15$
$DE^2 = 49$

Находим длину стороны $DE$:
$DE = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: $7$ см.