Номер 1, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему косинусов.

1. Теорема косинусов — это теорема в тригонометрии, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусом одного из его углов. Она является обобщением теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника).

Словесная формулировка теоремы звучит так: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для наглядности рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, лежащими напротив этих сторон соответственно.

Математически теорему косинусов можно выразить тремя эквивалентными формулами, по одной для каждой стороны треугольника:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\alpha}$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{\beta}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$

Из этих формул можно также выразить косинус любого угла, если известны длины всех трех сторон треугольника:

$\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Теорема косинусов применяется для решения следующих двух основных задач:

1. Нахождение длины неизвестной стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и величина угла между ними.

2. Нахождение величины углов треугольника, если известны длины всех трех его сторон.

Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула теоремы косинусов имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$.