Номер 27, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

27. Найдите высоту $BD$ треугольника $ABC$ и проекцию стороны $AB$ на прямую $AC$, если $\angle BAC = 150^\circ$, $AB = 12$ см.

Поскольку угол $ \angle BAC = 150^\circ $ является тупым, высота $ BD $, опущенная из вершины $ B $ на прямую, содержащую сторону $ AC $, будет лежать вне треугольника $ ABC $. Основание высоты, точка $ D $, будет находиться на продолжении стороны $ AC $ за точкой $ A $. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $ \triangle ABD $, в котором $ \angle BDA = 90^\circ $.

Угол $ \angle BAD $ является смежным с углом $ \angle BAC $, поэтому их сумма составляет $ 180^\circ $. Вычислим величину угла $ \angle BAD $:

$ \angle BAD = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABD $ с гипотенузой $ AB = 12 $ см и острым углом $ \angle BAD = 30^\circ $.

Высота BD

Высота $ BD $ является катетом, противолежащим углу $ \angle BAD = 30^\circ $. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$ \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB} $

Выразим отсюда длину $ BD $:

$ BD = AB \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

Проекция стороны AB на прямую AC

Проекцией стороны $ AB $ на прямую $ AC $ является отрезок $ AD $. В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABD $ этот отрезок является катетом, прилежащим к углу $ \angle BAD = 30^\circ $. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB} $

Выразим отсюда длину $ AD $:

$ AD = AB \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

Ответ: $ 6\sqrt{3} $ см.