Номер 31, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

31. Стороны треугольника равны $\sqrt{18}$ см, 5 см и 7 см. Найдите средний по величине угол треугольника.

Для того чтобы найти средний по величине угол треугольника, необходимо сначала определить, какая из сторон является средней по длине. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны — меньший угол, а против средней по длине стороны — средний по величине угол.

Стороны треугольника равны $a = \sqrt{18}$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см.

Чтобы сравнить длины сторон, сравним их квадраты:

$a^2 = (\sqrt{18})^2 = 18$

$b^2 = 5^2 = 25$

$c^2 = 7^2 = 49$

Так как $18 < 25 < 49$, то и длины сторон располагаются в следующем порядке: $\sqrt{18} < 5 < 7$.

Таким образом, средней по длине является сторона, равная 5 см. Искомый угол лежит напротив этой стороны. Обозначим этот угол $\beta$.

Для нахождения угла воспользуемся теоремой косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

Выразим косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим в формулу значения квадратов сторон и длины сторон:

$\cos(\beta) = \frac{18 + 49 - 25}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7} = \frac{42}{14\sqrt{18}}$

Упростим выражение. Сначала представим $\sqrt{18}$ как $\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$\cos(\beta) = \frac{42}{14 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{42}{42\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\beta) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем сам угол $\beta$:

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$