Номер 38, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

38. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : BM = 1 : 3$. Найдите отрезок $CM$, если $AC = BC = 4$ см.

Поскольку $AB$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$, то угол $C$ — прямой, $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как его катеты равны: $AC = BC = 4$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Точка $M$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $AM : BM = 1 : 3$. Найдем длину отрезка $AM$. Весь отрезок $AB$ состоит из $1+3=4$ частей, из которых на $AM$ приходится одна часть.

$AM = \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ углы при основании (гипотенузе) равны:

$\angle CAB = \angle CBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $AMC$. Нам известны две его стороны $AC = 4$ см, $AM = \sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle CAM = \angle CAB = 45^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны $CM$ воспользуемся теоремой косинусов:

$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle CAM)$

Подставим известные значения:

$CM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, продолжаем вычисления:

$CM^2 = 16 + 2 - 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CM^2 = 18 - \frac{8 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$CM^2 = 18 - \frac{8 \cdot 2}{2}$

$CM^2 = 18 - 8 = 10$

Отсюда находим длину отрезка $CM$:

$CM = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{10}$ см.