Номер 37, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

37. На стороне $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD : DB = 2 : 1$. Найдите отрезок $CD$, если $AB = 6$ см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.

Дано, что длина стороны $AB = 6$ см. Следовательно, $AC = BC = 6$ см, и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$ и делит её в отношении $AD : DB = 2 : 1$. Это значит, что длина отрезка $AB$ состоит из $2+1=3$ частей.

Найдем длину каждой части:

$6 \text{ см} / 3 = 2 \text{ см}$.

Следовательно, длины отрезков $AD$ и $DB$ равны:

$AD = 2 \cdot 2 = 4$ см.

$DB = 1 \cdot 2 = 2$ см.

Для нахождения длины отрезка $CD$ рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC=6$ см и $AD=4$ см) и угол между ними ($\angle A = 60^\circ$).

Воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к треугольнику $ADC$ формула выглядит так:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$CD^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 52 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 52 - 24$

$CD^2 = 28$

Чтобы найти длину $CD$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$CD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.