Номер 36, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

36. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $BC = 3$ см, $AD = 10$ см, $CD = 4$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. По условию задачи известны длины оснований $BC = 3$ см, $AD = 10$ см, длина боковой стороны $CD = 4$ см и угол при большем основании $\angle D = 60^\circ$.

Для нахождения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$ разобьем решение на два этапа.

Нахождение диагонали AC

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. В нем известны длины двух сторон $AD=10$ см, $CD=4$ см и угол между ними $\angle D = 60^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов: $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу: $AC^2 = 10^2 + 4^2 - 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$ $AC^2 = 100 + 16 - 80 \cdot \frac{1}{2}$ $AC^2 = 116 - 40$ $AC^2 = 76$ $AC = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Нахождение диагонали BD

Чтобы найти длину диагонали $BD$, проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BK$ и $CH$ на основание $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Высота трапеции $CH$ равна: $CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина отрезка $HD$ (проекция стороны $CD$ на основание $AD$) равна: $HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Так как $BCKH$ — прямоугольник (поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BK, CH$ перпендикулярны $AD$), то $BK = CH = 2\sqrt{3}$ см и $KH = BC = 3$ см.

Теперь найдем длину отрезка $KD$ на основании $AD$. Он состоит из двух частей: $KH$ и $HD$. $KD = KH + HD = 3 + 2 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKD$. Его катеты равны $BK = 2\sqrt{3}$ см и $KD = 5$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$: $BD^2 = BK^2 + KD^2$ $BD^2 = (2\sqrt{3})^2 + 5^2 = (4 \cdot 3) + 25 = 12 + 25 = 37$ $BD = \sqrt{37}$ см.

Ответ: $AC = 2\sqrt{19}$ см, $BD = \sqrt{37}$ см.