Номер 40, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

40. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 20$ см, $BC = 15$ см. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $BM = 4$ см. Найдите отрезок $CM$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, используя известные длины катетов $AC = 20$ см и $BC = 15$ см.

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$

$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Для нахождения длины искомого отрезка $CM$ рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $BC = 15$ см (по условию) и $BM = 4$ см (по условию). Мы можем найти длину третьей стороны $CM$ по теореме косинусов, если будем знать угол между известными сторонами, то есть угол $B$.

Найдем косинус угла $B$ из прямоугольного треугольника $ABC$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BCM$:

$CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим в эту формулу все известные значения:

$CM^2 = 15^2 + 4^2 - 2 \cdot 15 \cdot 4 \cdot \frac{3}{5}$

$CM^2 = 225 + 16 - \frac{2 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 3}{5}$

$CM^2 = 241 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3$

$CM^2 = 241 - 72$

$CM^2 = 169$

Следовательно, длина отрезка $CM$ равна:

$CM = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.