Номер 47, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

47. Сумма двух сторон треугольника, образующих угол $120^\circ$, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Обозначим неизвестные стороны треугольника, образующие угол $120^\circ$, как $a$ и $b$. Третья сторона пусть будет $c$.

По условию задачи мы знаем, что сумма сторон $a+b = 8$ см, угол между ними $\gamma = 120^\circ$, а третья сторона $c = 7$ см.

Для нахождения неизвестных сторон воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в эту формулу. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ (или $-\frac{1}{2}$), получаем:

$7^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = a^2 + b^2 + ab$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a^2 + b^2 + ab = 49 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 8 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^2 + (8 - a)^2 + a(8 - a) = 49$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$a^2 + (64 - 16a + a^2) + 8a - a^2 = 49$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 8a + 64 - 49 = 0$

$a^2 - 8a + 15 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна 8, а их произведение — 15. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 5.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $b$, используя соотношение $b = 8 - a$:

• Если $a = 3$ см, то $b = 8 - 3 = 5$ см.
• Если $a = 5$ см, то $b = 8 - 5 = 3$ см.

В обоих случаях мы получаем, что длины искомых сторон треугольника равны 3 см и 5 см.

Ответ: 3 см и 5 см.