Номер 52, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

52. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ – точку $M$. Найдите отрезок $MK$, если $AB = 15$ см, $BC = 7$ см, $AC = 13$ см, $AK = 8$ см, $MC = 3$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые элементы для треугольника $KBM$, в котором сторона $MK$ является искомой.

1. Найдем длину отрезка $BK$. Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина $BK$ равна разности длин $AB$ и $AK$.
$BK = AB - AK = 15 - 8 = 7$ см.

2. Найдем длину отрезка $BM$. Точка $M$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, поэтому длина $BM$ равна сумме длин $BC$ и $MC$.
$BM = BC + MC = 7 + 3 = 10$ см.

3. Теперь нам нужно найти угол $\angle KBM$, который совпадает с углом $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Найдем косинус этого угла, используя теорему косинусов для треугольника $ABC$, так как нам известны длины всех его сторон ($AB = 15$ см, $BC = 7$ см, $AC = 13$ см).
По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$.
Выразим отсюда $\cos(\angle ABC)$:
$\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$
Подставим известные значения:
$\cos(\angle ABC) = \frac{15^2 + 7^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 7} = \frac{225 + 49 - 169}{210} = \frac{274 - 169}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$.

4. Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику $KBM$, чтобы найти длину стороны $MK$. Мы знаем, что $KB = 7$ см, $BM = 10$ см и $\cos(\angle KBM) = \cos(\angle ABC) = \frac{1}{2}$.
$MK^2 = KB^2 + BM^2 - 2 \cdot KB \cdot BM \cdot \cos(\angle KBM)$
Подставим значения:
$MK^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$
$MK^2 = 49 + 100 - 70$
$MK^2 = 149 - 70$
$MK^2 = 79$
$MK = \sqrt{79}$ см.

Ответ: $\sqrt{79}$ см.