Номер 46, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

46. Две стороны треугольника относятся как $1 : 2\sqrt{3}$ и образуют угол, равный $30^{\circ}$. Третья сторона треугольника равна $2\sqrt{7}$ см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть неизвестные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона $c = 2\sqrt{7}$ см. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 30^\circ$.

Согласно условию, стороны $a$ и $b$ относятся как $1 : 2\sqrt{3}$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать длины сторон как:

$a = 1 \cdot x = x$

$b = 2\sqrt{3} \cdot x = 2\sqrt{3}x$

Для нахождения неизвестных сторон воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу:

$(2\sqrt{7})^2 = x^2 + (2\sqrt{3}x)^2 - 2 \cdot x \cdot (2\sqrt{3}x) \cdot \cos(30^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$4 \cdot 7 = x^2 + 4 \cdot 3 \cdot x^2 - 4\sqrt{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$28 = x^2 + 12x^2 - \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - \frac{4 \cdot 3}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - \frac{12}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - 6x^2$

$28 = 7x^2$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{28}{7}$

$x^2 = 4$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительное значение корня:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины неизвестных сторон треугольника:

Первая сторона: $a = x = 2$ см.

Вторая сторона: $b = 2\sqrt{3}x = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны 2 см и $4\sqrt{3}$ см.