Номер 50, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

50. Две стороны треугольника равны 15 см и 35 см, а угол, противолежащий большей из известных сторон, равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, две стороны известны, обозначим их как $a = 15$ см и $b = 35$ см. Угол, противолежащий большей из этих сторон (то есть стороне $b$), равен $120^\circ$. Обозначим этот угол как $\beta$. Таким образом, мы имеем: $a = 15$ см, $b = 35$ см, $\beta = 120^\circ$.

Для нахождения периметра треугольника $P = a + b + c$ необходимо найти длину третьей стороны $c$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов для стороны $b$ имеет вид: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$.

Подставим известные значения в формулу: $35^2 = 15^2 + c^2 - 2 \cdot 15 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$.

Зная, что $35^2 = 1225$, $15^2 = 225$ и $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим: $1225 = 225 + c^2 - 2 \cdot 15 \cdot c \cdot (-\frac{1}{2})$
$1225 = 225 + c^2 + 15c$.

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $c^2 + 15c + 225 - 1225 = 0$
$c^2 + 15c - 1000 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 225 + 4000 = 4225$.

Найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $c = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 \pm 65}{2}$.

Получаем два возможных значения для $c$: $c_1 = \frac{-15 + 65}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$c_2 = \frac{-15 - 65}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.

Поскольку длина стороны треугольника является положительной величиной, корень $c_2 = -40$ не подходит. Следовательно, длина третьей стороны равна $c = 25$ см.

Теперь можем найти периметр треугольника: $P = a + b + c = 15 + 35 + 25 = 75$ см.

Ответ: 75 см.