Номер 54, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

54. Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен $120^\circ$.

Пусть в треугольнике стороны равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

По условию задачи, квадрат стороны $c$ равен неполному квадрату суммы двух других сторон, $a$ и $b$. Неполный квадрат суммы $a$ и $b$ — это выражение $a^2 + ab + b^2$. Таким образом, условие задачи можно записать в виде следующего равенства:

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$

Применим к этому треугольнику теорему косинусов, которая связывает стороны и угол $\gamma$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Так как левые части обоих уравнений равны ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 + ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$ab = -2ab \cos(\gamma)$

Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными величинами, значит, их произведение $ab \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ab$:

$1 = -2 \cos(\gamma)$

Отсюда выразим $\cos(\gamma)$:

$\cos(\gamma) = -\frac{1}{2}$

Угол $\gamma$ является внутренним углом треугольника, поэтому он находится в диапазоне $0^\circ < \gamma < 180^\circ$. Единственным углом в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, является угол $120^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что противолежащий этой стороне угол равен $120^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.