Номер 49, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

49. Две стороны треугольника равны 16 см и 14 см, а угол, противолежащий меньшей из известных сторон, равен $60^\circ$. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 16$ см и $b = 14$ см, и угол $\beta = 60^\circ$, который лежит напротив меньшей из этих сторон, то есть напротив стороны $b$. Нам нужно найти длину третьей стороны, которую обозначим как $c$.

Для решения этой задачи применим теорему косинусов. Запишем теорему для стороны $b$, так как противолежащий ей угол $\beta$ известен: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $$14^2 = 16^2 + c^2 - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot \cos(60^\circ)$$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, а также вычислив квадраты чисел ($14^2 = 196$ и $16^2 = 256$), упростим уравнение: $$196 = 256 + c^2 - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$$ $$196 = 256 + c^2 - 16c$$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, перенеся все члены в левую часть: $$c^2 - 16c + 256 - 196 = 0$$ $$c^2 - 16c + 60 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $$c_1 = \frac{-(-16) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$c_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Мы получили два положительных значения для длины третьей стороны: 6 см и 10 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба решения неравенству треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

1. Проверка для $c = 6$ см (стороны 6, 14, 16):
$6 + 14 > 16 \Rightarrow 20 > 16$ (Верно)
$6 + 16 > 14 \Rightarrow 22 > 14$ (Верно)
$14 + 16 > 6 \Rightarrow 30 > 6$ (Верно)
Следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

2. Проверка для $c = 10$ см (стороны 10, 14, 16):
$10 + 14 > 16 \Rightarrow 24 > 16$ (Верно)
$10 + 16 > 14 \Rightarrow 26 > 14$ (Верно)
$14 + 16 > 10 \Rightarrow 30 > 10$ (Верно)
Треугольник с такими сторонами также существует.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 6 см или 10 см.