Номер 53, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

53. Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет $60^\circ$. Докажите, что данный треугольник является прямоугольным.

Пусть в треугольнике даны две стороны и угол между ними. Обозначим одну сторону как $a$, а другую — как $b$. По условию, одна из сторон в 2 раза больше другой, пусть $b = 2a$. Угол $\gamma$ между этими сторонами составляет $60°$.

Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, мы можем найти длину третьей стороны $c$ и проверить, выполняется ли для сторон этого треугольника теорема Пифагора.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения квадрата третьей стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2a) \cdot \cos(60°)$

Зная, что косинус 60 градусов равен $\frac{1}{2}$, получим:

$c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 5a^2 - 2a^2$

$c^2 = 3a^2$

Теперь у нас есть квадраты длин всех трех сторон треугольника: $a^2$, $b^2 = (2a)^2 = 4a^2$ и $c^2 = 3a^2$.

Применим обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным. Самая длинная сторона в нашем случае — это сторона $b$, так как $b^2 = 4a^2$ является наибольшим значением.

Проверим, выполняется ли равенство $b^2 = a^2 + c^2$:

$a^2 + c^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

Мы видим, что $b^2 = 4a^2$ и $a^2 + c^2 = 4a^2$. Следовательно, равенство $b^2 = a^2 + c^2$ выполняется.

Так как для сторон треугольника выполняется теорема Пифагора, мы доказали, что данный треугольник является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив наибольшей стороны $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник является прямоугольным, поскольку для его сторон выполняется теорема Пифагора.