Номер 60, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

60. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) известно, что $AB = 5$ см, $BC = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos A = \frac{1}{7}$. Найдите сторону $CD$ трапеции.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.

Поскольку AD || BC и BH ⊥ AD, CK ⊥ AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = 9$ см, а также $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол H = 90°). Из определения косинуса найдем катет AH:$AH = AB \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7}$ см.

Теперь найдем высоту BH. Сначала, используя основное тригонометрическое тождество, найдем синус угла A. Так как угол A в трапеции острый (его косинус положителен), синус также будет положителен.$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$\sin A = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Теперь можем найти высоту BH:$BH = AB \cdot \sin A = 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.

Так как $BH = CK$, то $CK = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: AH, HK и KD.$AD = AH + HK + KD$Найдем длину отрезка KD:$KD = AD - AH - HK = 16 - \frac{5}{7} - 9 = 7 - \frac{5}{7} = \frac{49}{7} - \frac{5}{7} = \frac{44}{7}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD (угол K = 90°). По теореме Пифагора найдем гипотенузу CD:$CD^2 = CK^2 + KD^2$$CD^2 = (\frac{20\sqrt{3}}{7})^2 + (\frac{44}{7})^2 = \frac{400 \cdot 3}{49} + \frac{1936}{49} = \frac{1200 + 1936}{49} = \frac{3136}{49}$

Найдем значение CD, извлекая квадратный корень:$CD = \sqrt{\frac{3136}{49}} = \frac{\sqrt{3136}}{\sqrt{49}} = \frac{56}{7} = 8$ см.

Ответ: 8 см.