Номер 65, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

65. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 18$ см.

В треугольнике больший угол лежит против большей стороны. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна 18 см. Следовательно, нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла, лежащего против стороны $c = 18$ см. Две другие стороны, образующие этот угол, равны $a = 12$ см и $b = 15$ см.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся формулой, связывающей её со сторонами треугольника. Длина биссектрисы $l_c$, проведенной к стороне $c$ из противолежащего угла, вычисляется по формуле:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$

где $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $c$.

Сначала найдем длины этих отрезков. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Мы также знаем, что сумма длин этих отрезков равна длине стороны $c$:

$c_1 + c_2 = 18$

Получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} c_1 = \frac{4}{5}c_2 \\ c_1 + c_2 = 18 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{4}{5}c_2 + c_2 = 18$

$\frac{9}{5}c_2 = 18$

$c_2 = \frac{18 \cdot 5}{9} = 2 \cdot 5 = 10$ см

Тогда $c_1 = 18 - c_2 = 18 - 10 = 8$ см.

Теперь, когда мы знаем длины отрезков $c_1$ и $c_2$, мы можем вычислить длину биссектрисы $l_c$:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$

$l_c^2 = 180 - 80 = 100$

$l_c = \sqrt{100} = 10$ см

Ответ: 10 см.