Номер 62, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

62. Найдите диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$, если около него можно описать окружность и $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

Поскольку около четырехугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна 180°.

Следовательно, $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Рассмотрим диагональ AC. Она делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Применим теорему косинусов для обоих треугольников, чтобы выразить квадрат диагонали AC.

В $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

В $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$:

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot (-\cos(\angle B))$

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle B)$

Теперь выразим $\cos(\angle B)$, сгруппировав слагаемые:

$AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2 = 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle B)$

$AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2 = (2 \cdot AB \cdot BC + 2 \cdot AD \cdot CD) \cdot \cos(\angle B)$

$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2}{2(AB \cdot BC + AD \cdot CD)}$

Подставим известные значения сторон: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

$\cos(\angle B) = \frac{3^2 + 4^2 - 6^2 - 5^2}{2(3 \cdot 4 + 6 \cdot 5)} = \frac{9 + 16 - 36 - 25}{2(12 + 30)} = \frac{25 - 61}{2(42)} = \frac{-36}{84}$

Сократим дробь на 12:

$\cos(\angle B) = -\frac{3}{7}$

Теперь, зная $\cos(\angle B)$, мы можем найти длину диагонали AC, подставив это значение в формулу теоремы косинусов для $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{3}{7})$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cdot (-\frac{3}{7}) = 25 + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{25 \cdot 7}{7} + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$

$AC = \sqrt{\frac{247}{7}}$ см.

Ответ: $\sqrt{\frac{247}{7}}$ см.