Номер 63, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

63. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если $AB = 4$ см, $AD = 3$ см, $BD = 6$ см и $\angle C = 30^\circ$?

Для того чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна $180^\circ$. В нашем случае мы должны проверить, выполняется ли условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $.

Предположим, что окружность описать можно. Тогда эта окружность является описанной одновременно для треугольника $ABD$ и для треугольника $BCD$.

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. По следствию из теоремы синусов, радиус $R$ описанной около него окружности можно найти по формуле:

$ R = \frac{BD}{2 \sin \angle C} $

Подставим известные значения:

$ R = \frac{6}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{6}{1} = 6 $ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Если он вписан в ту же окружность, то для него также должна выполняться теорема синусов с тем же радиусом $R = 6$ см. Однако, мы можем найти косинус угла $A$ по теореме косинусов, зная все три стороны треугольника $ABD$ ($AB = 4$ см, $AD = 3$ см, $BD = 6$ см):

$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A $

Подставим значения:

$ 6^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle A $

$ 36 = 16 + 9 - 24 \cos \angle A $

$ 36 = 25 - 24 \cos \angle A $

$ 11 = -24 \cos \angle A $

$ \cos \angle A = -\frac{11}{24} $

3. Теперь проверим, выполняется ли условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $. Если бы оно выполнялось, то $ \angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

Косинус такого угла должен быть равен:

$ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

4. Сравним полученные значения косинуса угла $A$. Из теоремы косинусов мы получили $ \cos \angle A = -\frac{11}{24} $. Из предположения о возможности описать окружность мы получили, что $ \cos \angle A $ должен быть равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ -\frac{11}{24} \approx -0.458 $

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{1.732}{2} = -0.866 $

Так как $ -\frac{11}{24} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ не выполняется. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Описать окружность около данного четырёхугольника нельзя.