Номер 64, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

64. Докажите, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Доказательство утверждения, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Пусть $\angle A$ и $\angle B$ — его смежные углы, причем по условию один угол больше другого. Допустим, $\angle B > \angle A$. Диагональ $AC$ лежит против угла $\angle B$, а диагональ $BD$ — против угла $\angle A$. Нам нужно доказать, что $AC > BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$, образованные сторонами и диагоналями параллелограмма.

Применим теорему косинусов для нахождения квадратов длин диагоналей:

1. В треугольнике $\triangle ABD$ квадрат диагонали $BD$ равен:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A) = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

2. В треугольнике $\triangle ABC$ квадрат диагонали $AC$ равен:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B)$

По свойству параллелограмма, сумма его смежных углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle B = 180^\circ - \angle A$.

Используя формулу приведения, находим косинус угла $\angle B$:
$\cos(\angle B) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A)$

Подставим это выражение в формулу для квадрата диагонали $AC$:
$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\angle A)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\angle A)$

Теперь у нас есть два выражения для сравнения:
$AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\angle A)$
$BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Из условия $\angle B > \angle A$ и равенства $\angle A + \angle B = 180^\circ$ следует, что угол $\angle A$ должен быть острым ($\angle A < 90^\circ$), а угол $\angle B$ — тупым ($\angle B > 90^\circ$). Для острого угла косинус положителен, то есть $\cos(\angle A) > 0$.

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ положительны, произведение $2ab \cos(\angle A)$ также является положительным числом. Сравнивая выражения для $AC^2$ и $BD^2$, мы видим, что $AC^2$ получается прибавлением положительного числа $2ab \cos(\angle A)$ к $a^2 + b^2$, а $BD^2$ — вычитанием этого же числа. Таким образом:

$AC^2 > BD^2$

Так как длины диагоналей являются положительными величинами, из этого следует, что $AC > BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Формулировка и доказательство обратного утверждения

Формулировка обратного утверждения: В параллелограмме против большей диагонали лежит больший угол.

Доказательство:
Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $AD=b$ и диагоналями $AC$ и $BD$. Допустим, диагональ $AC$ больше диагонали $BD$, то есть $AC > BD$. Требуется доказать, что угол, лежащий против диагонали $AC$ (угол $\angle B$), больше угла, лежащего против диагонали $BD$ (угла $\angle A$).

Как и в прямом доказательстве, используем выражения для квадратов диагоналей, полученные по теореме косинусов:
$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B)$
$BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Из условия $AC > BD$ следует, что $AC^2 > BD^2$. Запишем неравенство:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B) > a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\angle B) > -2ab \cos(\angle A)$

Разделим обе части неравенства на $-2ab$. Поскольку $a>0$ и $b>0$, число $-2ab$ отрицательно, поэтому при делении на него знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos(\angle B) < \cos(\angle A)$

Функция косинуса $y = \cos(x)$ является монотонно убывающей на промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Углы параллелограмма $\angle A$ и $\angle B$ принадлежат этому промежутку. Для убывающей функции меньшее значение аргумента соответствует большему значению функции, и наоборот. Следовательно, из неравенства $\cos(\angle B) < \cos(\angle A)$ вытекает, что:

$\angle B > \angle A$

Таким образом, против большей диагонали $AC$ лежит больший угол $\angle B$. Обратное утверждение доказано.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.