Номер 71, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

71. Докажите, что $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, где $a$, $b$ и $c$ – стороны треугольника, $m_c$ – медиана треугольника, проведённая к стороне $c$.

Для доказательства этой формулы воспользуемся теоремой косинусов. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=b$, $BC=a$ и $AB=c$. Проведем медиану $CM$ к стороне $AB$. По определению, медиана делит сторону пополам, поэтому $AM = MB = \frac{c}{2}$. Длину медианы $CM$ обозначим как $m_c$.

Медиана $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. Углы $\angle AMC$ и $\angle BMC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Обозначим $\angle AMC = \alpha$, тогда $\angle BMC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Подставим известные значения:

$b^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$

$b^2 = \frac{c^2}{4} + m_c^2 - c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$ (1)

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $\triangle BMC$:

$BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \cdot BM \cdot CM \cdot \cos(\angle BMC)$

Подставим известные значения и учтем, что $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$a^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot m_c \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

$a^2 = \frac{c^2}{4} + m_c^2 + c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$ (2)

Теперь сложим почленно уравнения (1) и (2):

$a^2 + b^2 = \left(\frac{c^2}{4} + m_c^2 + c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)\right) + \left(\frac{c^2}{4} + m_c^2 - c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)\right)$

Члены, содержащие косинус, взаимно уничтожаются:

$a^2 + b^2 = 2m_c^2 + 2\frac{c^2}{4}$

$a^2 + b^2 = 2m_c^2 + \frac{c^2}{2}$

Теперь выразим $m_c^2$ из полученного равенства (которое само по себе является теоремой Аполлония):

$2m_c^2 = a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$

Разделим обе части на 4:

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти длину медианы $m_c$ (длина является положительной величиной):

$m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу.

Ответ: Что и требовалось доказать.