Страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

59. Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см, а его диагонали относятся как 2 : 3. Найдите диагонали параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает длины его сторон и диагоналей. Свойство гласит: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (или удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон).

Пусть стороны параллелограмма $a = 11$ см и $b = 23$ см, а его диагонали $d_1$ и $d_2$.

Математически это свойство выражается формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи, диагонали относятся как $2:3$. Это значит, что мы можем выразить их через некоторую переменную $x$:

$d_1 = 2x$

$d_2 = 3x$

Теперь подставим все известные значения и выражения в основную формулу:

$(2x)^2 + (3x)^2 = 2(11^2 + 23^2)$

Выполним вычисления:

$4x^2 + 9x^2 = 2(121 + 529)$

$13x^2 = 2(650)$

$13x^2 = 1300$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{1300}{13}$

$x^2 = 100$

Так как длина отрезка — положительная величина, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{100} = 10$

Зная значение $x$, мы можем найти длины диагоналей:

$d_1 = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см

$d_2 = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны 20 см и 30 см.

60. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) известно, что $AB = 5$ см, $BC = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos A = \frac{1}{7}$. Найдите сторону $CD$ трапеции.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.

Поскольку AD || BC и BH ⊥ AD, CK ⊥ AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = 9$ см, а также $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол H = 90°). Из определения косинуса найдем катет AH:$AH = AB \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7}$ см.

Теперь найдем высоту BH. Сначала, используя основное тригонометрическое тождество, найдем синус угла A. Так как угол A в трапеции острый (его косинус положителен), синус также будет положителен.$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$\sin A = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Теперь можем найти высоту BH:$BH = AB \cdot \sin A = 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.

Так как $BH = CK$, то $CK = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: AH, HK и KD.$AD = AH + HK + KD$Найдем длину отрезка KD:$KD = AD - AH - HK = 16 - \frac{5}{7} - 9 = 7 - \frac{5}{7} = \frac{49}{7} - \frac{5}{7} = \frac{44}{7}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD (угол K = 90°). По теореме Пифагора найдем гипотенузу CD:$CD^2 = CK^2 + KD^2$$CD^2 = (\frac{20\sqrt{3}}{7})^2 + (\frac{44}{7})^2 = \frac{400 \cdot 3}{49} + \frac{1936}{49} = \frac{1200 + 1936}{49} = \frac{3136}{49}$

Найдем значение CD, извлекая квадратный корень:$CD = \sqrt{\frac{3136}{49}} = \frac{\sqrt{3136}}{\sqrt{49}} = \frac{56}{7} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

61. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) известно, что $AB = \sqrt{15}$ см, $BC = 6$ см, $CD = 4$ см, $AD = 11$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: $AB = \sqrt{15}$ см, $BC = 6$ см, $CD = 4$ см, $AD = 11$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный стороне $AB$, так, чтобы точка $E$ лежала на основании $AD$.

В результате построения получаем четырехугольник $ABCE$. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $BC \parallel AE$. По построению $CE \parallel AB$. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

$CE = AB = \sqrt{15}$ см

$AE = BC = 6$ см

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Найдем длину его стороны $ED$:

$ED = AD - AE = 11 - 6 = 5$ см.

В треугольнике $CDE$ известны длины всех трех сторон: $CD = 4$ см, $CE = \sqrt{15}$ см, $ED = 5$ см. Угол $D$ трапеции является углом $CDE$ в этом треугольнике.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $CDE$, чтобы найти косинус угла $D$:

$CE^2 = CD^2 + ED^2 - 2 \cdot CD \cdot ED \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:

$(\sqrt{15})^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$15 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos(\angle D)$

$15 = 41 - 40 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь выразим из уравнения $\cos(\angle D)$:

$40 \cdot \cos(\angle D) = 41 - 15$

$40 \cdot \cos(\angle D) = 26$

$\cos(\angle D) = \frac{26}{40}$

Сократим полученную дробь:

$\cos(\angle D) = \frac{13}{20}$

Ответ: $\frac{13}{20}$.

62. Найдите диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$, если около него можно описать окружность и $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

Поскольку около четырехугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна 180°.

Следовательно, $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Рассмотрим диагональ AC. Она делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Применим теорему косинусов для обоих треугольников, чтобы выразить квадрат диагонали AC.

В $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

В $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$:

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot (-\cos(\angle B))$

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = AD^2 + CD^2 + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle B)$

Теперь выразим $\cos(\angle B)$, сгруппировав слагаемые:

$AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2 = 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle B)$

$AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2 = (2 \cdot AB \cdot BC + 2 \cdot AD \cdot CD) \cdot \cos(\angle B)$

$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AD^2 - CD^2}{2(AB \cdot BC + AD \cdot CD)}$

Подставим известные значения сторон: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

$\cos(\angle B) = \frac{3^2 + 4^2 - 6^2 - 5^2}{2(3 \cdot 4 + 6 \cdot 5)} = \frac{9 + 16 - 36 - 25}{2(12 + 30)} = \frac{25 - 61}{2(42)} = \frac{-36}{84}$

Сократим дробь на 12:

$\cos(\angle B) = -\frac{3}{7}$

Теперь, зная $\cos(\angle B)$, мы можем найти длину диагонали AC, подставив это значение в формулу теоремы косинусов для $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{3}{7})$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cdot (-\frac{3}{7}) = 25 + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{25 \cdot 7}{7} + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$

$AC = \sqrt{\frac{247}{7}}$ см.

Ответ: $\sqrt{\frac{247}{7}}$ см.

63. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если $AB = 4$ см, $AD = 3$ см, $BD = 6$ см и $\angle C = 30^\circ$?

Для того чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна $180^\circ$. В нашем случае мы должны проверить, выполняется ли условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $.

Предположим, что окружность описать можно. Тогда эта окружность является описанной одновременно для треугольника $ABD$ и для треугольника $BCD$.

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. По следствию из теоремы синусов, радиус $R$ описанной около него окружности можно найти по формуле:

$ R = \frac{BD}{2 \sin \angle C} $

Подставим известные значения:

$ R = \frac{6}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{6}{1} = 6 $ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Если он вписан в ту же окружность, то для него также должна выполняться теорема синусов с тем же радиусом $R = 6$ см. Однако, мы можем найти косинус угла $A$ по теореме косинусов, зная все три стороны треугольника $ABD$ ($AB = 4$ см, $AD = 3$ см, $BD = 6$ см):

$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A $

Подставим значения:

$ 6^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle A $

$ 36 = 16 + 9 - 24 \cos \angle A $

$ 36 = 25 - 24 \cos \angle A $

$ 11 = -24 \cos \angle A $

$ \cos \angle A = -\frac{11}{24} $

3. Теперь проверим, выполняется ли условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $. Если бы оно выполнялось, то $ \angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

Косинус такого угла должен быть равен:

$ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

4. Сравним полученные значения косинуса угла $A$. Из теоремы косинусов мы получили $ \cos \angle A = -\frac{11}{24} $. Из предположения о возможности описать окружность мы получили, что $ \cos \angle A $ должен быть равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ -\frac{11}{24} \approx -0.458 $

$ -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{1.732}{2} = -0.866 $

Так как $ -\frac{11}{24} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то условие $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ не выполняется. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Описать окружность около данного четырёхугольника нельзя.

64. Докажите, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Доказательство утверждения, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Пусть $\angle A$ и $\angle B$ — его смежные углы, причем по условию один угол больше другого. Допустим, $\angle B > \angle A$. Диагональ $AC$ лежит против угла $\angle B$, а диагональ $BD$ — против угла $\angle A$. Нам нужно доказать, что $AC > BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$, образованные сторонами и диагоналями параллелограмма.

Применим теорему косинусов для нахождения квадратов длин диагоналей:

1. В треугольнике $\triangle ABD$ квадрат диагонали $BD$ равен:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A) = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

2. В треугольнике $\triangle ABC$ квадрат диагонали $AC$ равен:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B)$

По свойству параллелограмма, сумма его смежных углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle B = 180^\circ - \angle A$.

Используя формулу приведения, находим косинус угла $\angle B$:
$\cos(\angle B) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A)$

Подставим это выражение в формулу для квадрата диагонали $AC$:
$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\angle A)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\angle A)$

Теперь у нас есть два выражения для сравнения:
$AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\angle A)$
$BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Из условия $\angle B > \angle A$ и равенства $\angle A + \angle B = 180^\circ$ следует, что угол $\angle A$ должен быть острым ($\angle A < 90^\circ$), а угол $\angle B$ — тупым ($\angle B > 90^\circ$). Для острого угла косинус положителен, то есть $\cos(\angle A) > 0$.

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ положительны, произведение $2ab \cos(\angle A)$ также является положительным числом. Сравнивая выражения для $AC^2$ и $BD^2$, мы видим, что $AC^2$ получается прибавлением положительного числа $2ab \cos(\angle A)$ к $a^2 + b^2$, а $BD^2$ — вычитанием этого же числа. Таким образом:

$AC^2 > BD^2$

Так как длины диагоналей являются положительными величинами, из этого следует, что $AC > BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Формулировка и доказательство обратного утверждения

Формулировка обратного утверждения: В параллелограмме против большей диагонали лежит больший угол.

Доказательство:
Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $AD=b$ и диагоналями $AC$ и $BD$. Допустим, диагональ $AC$ больше диагонали $BD$, то есть $AC > BD$. Требуется доказать, что угол, лежащий против диагонали $AC$ (угол $\angle B$), больше угла, лежащего против диагонали $BD$ (угла $\angle A$).

Как и в прямом доказательстве, используем выражения для квадратов диагоналей, полученные по теореме косинусов:
$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B)$
$BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Из условия $AC > BD$ следует, что $AC^2 > BD^2$. Запишем неравенство:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B) > a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle A)$

Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\angle B) > -2ab \cos(\angle A)$

Разделим обе части неравенства на $-2ab$. Поскольку $a>0$ и $b>0$, число $-2ab$ отрицательно, поэтому при делении на него знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos(\angle B) < \cos(\angle A)$

Функция косинуса $y = \cos(x)$ является монотонно убывающей на промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Углы параллелограмма $\angle A$ и $\angle B$ принадлежат этому промежутку. Для убывающей функции меньшее значение аргумента соответствует большему значению функции, и наоборот. Следовательно, из неравенства $\cos(\angle B) < \cos(\angle A)$ вытекает, что:

$\angle B > \angle A$

Таким образом, против большей диагонали $AC$ лежит больший угол $\angle B$. Обратное утверждение доказано.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.

65. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 18$ см.

В треугольнике больший угол лежит против большей стороны. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна 18 см. Следовательно, нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла, лежащего против стороны $c = 18$ см. Две другие стороны, образующие этот угол, равны $a = 12$ см и $b = 15$ см.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся формулой, связывающей её со сторонами треугольника. Длина биссектрисы $l_c$, проведенной к стороне $c$ из противолежащего угла, вычисляется по формуле:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$

где $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $c$.

Сначала найдем длины этих отрезков. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Мы также знаем, что сумма длин этих отрезков равна длине стороны $c$:

$c_1 + c_2 = 18$

Получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} c_1 = \frac{4}{5}c_2 \\ c_1 + c_2 = 18 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{4}{5}c_2 + c_2 = 18$

$\frac{9}{5}c_2 = 18$

$c_2 = \frac{18 \cdot 5}{9} = 2 \cdot 5 = 10$ см

Тогда $c_1 = 18 - c_2 = 18 - 10 = 8$ см.

Теперь, когда мы знаем длины отрезков $c_1$ и $c_2$, мы можем вычислить длину биссектрисы $l_c$:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$

$l_c^2 = 180 - 80 = 100$

$l_c = \sqrt{100} = 10$ см

Ответ: 10 см.

66. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона – 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 5$ см, а боковые стороны $AB = BC = 20$ см. Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании, например, из вершины $A$. Обозначим эту биссектрису как $AD$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$.

Согласно свойству биссектрисы:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Подставим известные значения длин сторон:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{20}{5} = 4 $

Отсюда получаем, что $BD = 4 \cdot DC$.

Также мы знаем, что точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма длин отрезков $BD$ и $DC$ равна длине стороны $BC$:

$ BD + DC = BC = 20 $ см

Теперь составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} BD = 4 \cdot DC \\ BD + DC = 20 \end{cases} $

Подставим первое уравнение во второе:

$ 4 \cdot DC + DC = 20 $

$ 5 \cdot DC = 20 $

$ DC = \frac{20}{5} = 4 $ см

Тогда $BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Теперь, зная длины всех сторон и отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, можем найти длину самой биссектрисы ($l_a$) по формуле:

$ l_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC $

Подставим найденные и известные значения в формулу:

$ AD^2 = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4 $

$ AD^2 = 100 - 64 $

$ AD^2 = 36 $

$ AD = \sqrt{36} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

67. Стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Для нахождения длины медианы треугольника, проведенной к его большей стороне, используется формула длины медианы через стороны треугольника (следствие из теоремы Аполлония). Если $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $m_c$ — медиана, проведенная к стороне $c$, то ее длина вычисляется по формуле:
$m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$
В данной задаче стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см. Большая сторона равна 26 см.
Пусть $a = 16$ см, $b = 18$ см, и $c = 26$ см.
Нам нужно найти медиану $m_c$, проведенную к стороне $c$. Подставим значения в формулу:
$m_c = \frac{\sqrt{2 \cdot 16^2 + 2 \cdot 18^2 - 26^2}}{2}$
Выполним вычисления поэтапно:
1. Возведем длины сторон в квадрат:
$16^2 = 256$
$18^2 = 324$
$26^2 = 676$
2. Подставим полученные значения в формулу:
$m_c = \frac{\sqrt{2 \cdot 256 + 2 \cdot 324 - 676}}{2}$
$m_c = \frac{\sqrt{512 + 648 - 676}}{2}$
3. Вычислим выражение под корнем:
$m_c = \frac{\sqrt{1160 - 676}}{2}$
$m_c = \frac{\sqrt{484}}{2}$
4. Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{484} = 22$
5. Найдем окончательное значение длины медианы:
$m_c = \frac{22}{2} = 11$ см.
Ответ: 11 см.

68. Основание равнобедренного треугольника равно $4\sqrt{2}$ см, а медиана, проведённая к боковой стороне, – 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором основание равно $a$, а боковые стороны равны $b$. По условию задачи, $a = 4\sqrt{2}$ см. Медиана, проведённая к боковой стороне, равна $m_b = 5$ см. Нам нужно найти длину боковой стороны $b$.

Для решения задачи воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Длина медианы $m_b$, проведённой к стороне $b$, в треугольнике со сторонами $a$, $b$ и $c$ (где в нашем случае третья сторона тоже равна $b$) вычисляется по формуле:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

В нашем равнобедренном треугольнике стороны равны $a = 4\sqrt{2}$, $b$ и $c=b$. Подставим эти значения в формулу:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - b^2}{4}$

Теперь подставим известные числовые значения: $a = 4\sqrt{2}$ и $m_b = 5$.

$5^2 = \frac{2(4\sqrt{2})^2 + b^2}{4}$

Выполним вычисления:

$25 = \frac{2(16 \cdot 2) + b^2}{4}$

$25 = \frac{2(32) + b^2}{4}$

$25 = \frac{64 + b^2}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $b$. Умножим обе части уравнения на 4:

$100 = 64 + b^2$

Выразим $b^2$:

$b^2 = 100 - 64$

$b^2 = 36$

Так как длина стороны является положительной величиной, найдём корень из 36:

$b = \sqrt{36} = 6$ см.

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

69. Две стороны треугольника равны 12 см и 14 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – 7 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Медиана, проведенная к стороне $c$, обозначается как $m_c$. Формула, связывающая длины сторон и медианы, выглядит следующим образом:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

По условию задачи нам даны следующие значения:

Сторона $a = 12$ см;

Сторона $b = 14$ см;

Медиана к третьей стороне $m_c = 7$ см.

Нам необходимо найти длину третьей стороны $c$. Для этого выразим $c$ из формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$m_c^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\right)^2$

$m_c^2 = \frac{1}{4}(2a^2 + 2b^2 - c^2)$

Далее, умножим обе части на 4:

$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$

Теперь выразим $c^2$:

$c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4m_c^2$

Подставим известные значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$c^2 = 2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 14^2 - 4 \cdot 7^2$

$c^2 = 2 \cdot 144 + 2 \cdot 196 - 4 \cdot 49$

$c^2 = 288 + 392 - 196$

$c^2 = 680 - 196$

$c^2 = 484$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из 484:

$c = \sqrt{484} = 22$ см.

Ответ: 22 см.

70. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$. На продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отметили точку $D$ так, что $BD = 2AB$. Докажите, что треугольник $ACD$ равнобедренный.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), он является равнобедренным. Углы при основании $AC$ такого треугольника равны. Зная угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$, найдем углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Точка $D$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой. Угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle CBD$: $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

По условию задачи $BD = 2AB$. Выберем на отрезке $BD$ точку $M$, которая является его серединой. Тогда $BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{2AB}{2} = AB$.

Рассмотрим треугольник $CBM$. Мы знаем, что $BC = AB$ (по условию) и $BM = AB$ (по построению). Следовательно, в треугольнике $CBM$ две стороны равны: $BC = BM$. Угол между этими сторонами, как мы нашли ранее, равен $\angle CBM = 60^\circ$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними составляет $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, треугольник $CBM$ — равносторонний. Все его стороны равны ($CM = BC = BM$), и все углы равны $60^\circ$. В частности, $CM = AB$ и $\angle CMB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Мы установили, что $CM = AB$ и $MD = AB$. Значит, $CM = MD$, и треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

Угол $\angle CMD$ является смежным с углом $\angle CMB$, так как точки $B, M, D$ лежат на одной прямой. $\angle CMD = 180^\circ - \angle CMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В равнобедренном треугольнике $CMD$ углы при основании равны: $\angle MDC = \angle MCD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Наконец, рассмотрим треугольник $ACD$. Мы можем определить величины двух его углов:

• $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle CAD = 30^\circ$.
• $\angle ADC$ совпадает с углом $\angle MDC$, поэтому $\angle ADC = 30^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ACD$ два угла равны ($\angle CAD = \angle ADC = 30^\circ$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны $AC$ и $CD$, лежащие напротив равных углов, равны между собой.

Ответ: Треугольник ACD является равнобедренным, так как было доказано, что углы при его основании AD равны $30^\circ$, что влечет за собой равенство боковых сторон AC и CD.

71. Докажите, что $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, где $a$, $b$ и $c$ – стороны треугольника, $m_c$ – медиана треугольника, проведённая к стороне $c$.

Для доказательства этой формулы воспользуемся теоремой косинусов. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=b$, $BC=a$ и $AB=c$. Проведем медиану $CM$ к стороне $AB$. По определению, медиана делит сторону пополам, поэтому $AM = MB = \frac{c}{2}$. Длину медианы $CM$ обозначим как $m_c$.

Медиана $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. Углы $\angle AMC$ и $\angle BMC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Обозначим $\angle AMC = \alpha$, тогда $\angle BMC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Подставим известные значения:

$b^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$

$b^2 = \frac{c^2}{4} + m_c^2 - c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$ (1)

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $\triangle BMC$:

$BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \cdot BM \cdot CM \cdot \cos(\angle BMC)$

Подставим известные значения и учтем, что $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$a^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot m_c \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

$a^2 = \frac{c^2}{4} + m_c^2 + c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)$ (2)

Теперь сложим почленно уравнения (1) и (2):

$a^2 + b^2 = \left(\frac{c^2}{4} + m_c^2 + c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)\right) + \left(\frac{c^2}{4} + m_c^2 - c \cdot m_c \cdot \cos(\alpha)\right)$

Члены, содержащие косинус, взаимно уничтожаются:

$a^2 + b^2 = 2m_c^2 + 2\frac{c^2}{4}$

$a^2 + b^2 = 2m_c^2 + \frac{c^2}{2}$

Теперь выразим $m_c^2$ из полученного равенства (которое само по себе является теоремой Аполлония):

$2m_c^2 = a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$

Разделим обе части на 4:

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти длину медианы $m_c$ (длина является положительной величиной):

$m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу.

Ответ: Что и требовалось доказать.

72. В окружности проведены диаметр $AC$ и хорда $AB$, равная радиусу окружности. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. Нам дан треугольник ABC, вписанный в эту окружность.

1. Найдём угол $∠ABC$. По условию, сторона AC треугольника ABC является диаметром окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, и его угол $∠ABC$ равен $90°$.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. По условию задачи, длина хорды $AB$ также равна радиусу, то есть $AB = R$. Таким образом, все три стороны треугольника $AOB$ равны: $OA = OB = AB = R$.

3. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$. Следовательно, $∠OAB = 60°$. Угол $∠BAC$ треугольника ABC совпадает с углом $∠OAB$, так как точки O и C лежат на одной прямой с точкой A. Таким образом, $∠BAC = 60°$.

4. Зная два угла треугольника ABC ($∠ABC = 90°$ и $∠BAC = 60°$), мы можем найти третий угол $∠BCA$, используя теорему о сумме углов в треугольнике, которая гласит, что сумма углов равна $180°$.

$∠BCA = 180° - ∠ABC - ∠BAC$

$∠BCA = 180° - 90° - 60° = 30°$

Таким образом, мы нашли все углы треугольника ABC.

Ответ: углы треугольника ABC равны $90°$, $60°$ и $30°$.

73. Один из углов, образовавшихся при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен одному из углов параллелограмма. Найдите углы параллелограмма.

Пусть в параллелограмме ABCD углы при одной стороне равны $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны.

Проведем биссектрису одного из углов, например, угла $\angle A = \alpha$. Пусть она пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Так как $AK$ – биссектриса, то $\angle BAK = \angle DAK = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку стороны $AD$ и $BC$ параллелограмма параллельны, а $AK$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ равны. Следовательно, $\angle AKB = \angle DAK = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\angle AKB$ является одним из углов, образовавшихся при пересечении биссектрисы со стороной.

По условию задачи, один из углов, образовавшихся при пересечении, равен одному из углов параллелограмма. Рассмотрим два возможных случая для угла $\angle AKB$.

Случай 1: Образовавшийся угол равен углу $\alpha$.
В этом случае $\angle AKB = \alpha$. Так как мы выяснили, что $\angle AKB = \frac{\alpha}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\alpha}{2} = \alpha$
Это равенство верно только при $\alpha = 0$, что невозможно для угла параллелограмма.

Случай 2: Образовавшийся угол равен углу $\beta$.
В этом случае $\angle AKB = \beta$. Получаем уравнение:
$\frac{\alpha}{2} = \beta$
Используем систему уравнений, связывающую углы параллелограмма:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\alpha}{2} = \beta \\ \alpha + \beta = 180^\circ \end{array} \right.$
Подставим выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе:
$\alpha + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$
$\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ$
$3\alpha = 360^\circ$
$\alpha = 120^\circ$
Тогда $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма равны $120^\circ$ и $60^\circ$.

Если бы биссектриса угла $\alpha$ пересекала сторону $CD$, или если бы мы рассматривали биссектрису угла $\beta$, или второй из образовавшихся при пересечении углов (смежный с $\angle AKB$), результат был бы таким же.

Следовательно, углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.