Страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

100. Сторона треугольника равна 24 см, а радиус описанной окружности – $8\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, воспользуемся расширенной теоремой синусов. Она связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности следующей формулой:

$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R $

где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой формулы выразим $\sin(\alpha)$:

$ \sin(\alpha) = \frac{a}{2R} $

Подставим в формулу данные из условия задачи: $a = 24$ см и $R = 8\sqrt{3}$ см.

$ \sin(\alpha) = \frac{24}{2 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} $

Сократим дробь на 8:

$ \sin(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$ \sin(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Уравнение $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (поскольку угол треугольника не может быть больше $180^\circ$) имеет два решения:

$\alpha_1 = 60^\circ$

$\alpha_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Оба этих значения могут быть углами треугольника, поэтому задача имеет два возможных решения.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.

101. Трасса для велосипедистов имеет форму треугольника, два угла которого равны $50^\circ$ и $100^\circ$. Меньшую сторону этого треугольника один из велосипедистов проезжает за 1 ч. За какое время он проедет всю трассу? Ответ представьте в часах с точностью до десятых.

Для решения задачи сначала найдем третий угол треугольника, форма которого соответствует трассе. Сумма углов в треугольнике составляет $180°$. Зная два угла, $50°$ и $100°$, находим третий:

$180° - 50° - 100° = 30°$

Таким образом, углы треугольника равны $30°$, $50°$ и $100°$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Самый маленький угол — $30°$, следовательно, сторона, лежащая напротив него, является наименьшей. По условию, велосипедист проезжает эту сторону за 1 час.

Для нахождения длин остальных сторон воспользуемся теоремой синусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а противолежащие им углы — $\alpha, \beta, \gamma$. Теорема синусов гласит:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Поскольку скорость велосипедиста постоянна, время, затраченное на проезд каждой стороны ($t_a, t_b, t_c$), прямо пропорционально ее длине. Поэтому мы можем записать аналогичное соотношение для времени:

$\frac{t_a}{\sin \alpha} = \frac{t_b}{\sin \beta} = \frac{t_c}{\sin \gamma}$

Пусть $t_c$ — время проезда меньшей стороны (напротив угла $\gamma=30°$), $t_b$ — время проезда стороны напротив угла $\beta=50°$, и $t_a$ — время проезда стороны напротив угла $\alpha=100°$. Нам дано, что $t_c = 1$ час.

Найдем время проезда двух других сторон:

$t_a = t_c \cdot \frac{\sin 100°}{\sin 30°} = 1 \cdot \frac{\sin 100°}{\sin 30°}$
$t_b = t_c \cdot \frac{\sin 50°}{\sin 30°} = 1 \cdot \frac{\sin 50°}{\sin 30°}$

Общее время $T$, необходимое для проезда всей трассы, равно сумме времен, затраченных на каждую сторону:

$T = t_a + t_b + t_c = \frac{\sin 100°}{\sin 30°} + \frac{\sin 50°}{\sin 30°} + 1$

Подставим значения синусов ($\sin 30° = 0.5$, $\sin 50° \approx 0.7660$, $\sin 100° \approx 0.9848$):

$T \approx \frac{0.9848}{0.5} + \frac{0.7660}{0.5} + 1 \approx 1.9696 + 1.532 + 1 \approx 4.5016$

Округлив результат до десятых, получаем 4.5 часа.

Ответ: 4.5

102. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите биссектрису $BD$ треугольника.

Для нахождения длины биссектрисы $BD$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся известными данными: сторона $AC = b$, $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$.

1. Найдем угол $B$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан), поэтому: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = \pi - (\alpha + \gamma)$.

2. Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, он делит этот угол на две равные части: $\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{\pi - (\alpha + \gamma)}{2}$.

3. Для дальнейших вычислений нам понадобится длина одной из сторон, прилежащих к углу $B$, например, стороны $AB$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$ Подставим известные значения: $\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\pi - (\alpha + \gamma))}$ Используя формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем: $\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\alpha + \gamma)}$ Отсюда выразим длину стороны $AB$: $AB = \frac{b \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma)}$

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Чтобы применить к нему теорему синусов и найти $BD$, нам нужно знать угол, противолежащий стороне $AB$, то есть $\angle ADB$. $\angle ADB = 180^\circ - (\angle A + \angle ABD) = \pi - \left(\alpha + \frac{\pi - (\alpha + \gamma)}{2}\right)$ Приведем к общему знаменателю выражение в скобках: $\angle ADB = \pi - \frac{2\alpha + \pi - \alpha - \gamma}{2} = \pi - \frac{\pi + \alpha - \gamma}{2}$ $\angle ADB = \frac{2\pi - (\pi + \alpha - \gamma)}{2} = \frac{\pi - \alpha + \gamma}{2}$

5. Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$: $\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$ Подставим известные нам выражения: $\frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{\frac{b \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma)}}{\sin\left(\frac{\pi + \gamma - \alpha}{2}\right)}$

6. Выразим искомую биссектрису $BD$: $BD = \frac{b \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma) \sin\left(\frac{\pi - (\alpha - \gamma)}{2}\right)}$ Воспользуемся формулой приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$. $\sin\left(\frac{\pi - (\alpha - \gamma)}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha - \gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)$ Подставив это в выражение для $BD$, получим окончательный ответ.

Ответ: $BD = \frac{b \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}$

103. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, противолежащий ему угол равен $\alpha$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$, а угол при вершине $B$, противолежащий основанию, равен $\angle ABC = \alpha$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $ $ 2 \cdot \angle BAC + \alpha = 180^\circ $ $ \angle BAC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $ Следовательно, углы при основании равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle BAC$ пополам: $ \angle CAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4} $

Рассмотрим треугольник $ADC$. Нам известны сторона $AC = a$ и два прилежащих к ней угла: $ \angle ACD = \angle BCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $ $ \angle CAD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4} $

Найдем третий угол треугольника $ADC$, $\angle ADC$: $ \angle ADC = 180^\circ - (\angle ACD + \angle CAD) $ $ \angle ADC = 180^\circ - \left( \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) \right) $ $ \angle ADC = 180^\circ - \left( 135^\circ - \frac{3\alpha}{4} \right) $ $ \angle ADC = 45^\circ + \frac{3\alpha}{4} $

Теперь, чтобы найти длину биссектрисы $AD$, применим теорему синусов к треугольнику $ADC$: $ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $ Подставим известные значения: $ \frac{AD}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $

Выразим $AD$: $ AD = a \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $ Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем окончательное выражение для длины биссектрисы: $ AD = a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $

Ответ: $a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}$

104. Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим стороны треугольника, прилежащие к этому углу, как $AB = c$ и $AC = b$. Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD$ и $DC$.

Поскольку $AD$ — биссектриса, она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим к нему теорему синусов: $$ \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Подставив известные обозначения, получим: $$ \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\angle ADB)} $$ Из этого соотношения выразим длину отрезка $BD$: $$ BD = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Аналогично применим к нему теорему синусов: $$ \frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Подставив известные обозначения, получим: $$ \frac{DC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\angle ADC)} $$ Выразим длину отрезка $DC$: $$ DC = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADC)} $$

Теперь составим отношение длин отрезков $BD$ и $DC$, используя полученные выражения: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{\frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)}}{\frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADC)}} $$ Сократим общий множитель $\sin(\alpha)$: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle ADC)}{\sin(\angle ADB)} $$

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол при точке $D$ на прямой $BC$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ $$ Для синусов смежных углов справедливо равенство $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$. Таким образом, мы можем написать: $$ \sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle ADB) = \sin(\angle ADB) $$

Подставим это равенство в полученное ранее отношение: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle ADB)}{\sin(\angle ADB)} $$ Сократив $\sin(\angle ADB)$, окончательно получаем: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} $$ Заменив $c$ и $b$ на $AB$ и $AC$ соответственно, мы приходим к равенству: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$ Это доказывает, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

105. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота – 8 см.

Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 21$ см, $BC = 9$ см, а высота трапеции $h = 8$ см. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции, например, треугольника $ABD$.

Радиус $R$ описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника $ABD$, необходимо найти длины его сторон $AB$ и $BD$, а также его площадь. Сторона $AD$ известна и равна $21$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем диагональ $BD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Длина катета $HD$ равна $AD - AH = 21 - 6 = 15$ см. По теореме Пифагора:$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Площадь треугольника $ABD$ равна половине произведения его основания $AD$ на высоту $BH$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см².

Теперь, имея все необходимые данные, можем вычислить радиус описанной окружности:$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 21 \cdot 17}{4 \cdot 84}$.Упростим выражение:$R = \frac{10 \cdot 21 \cdot 17}{336} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.

106. Отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $E$, причём $AE = a$. Найдите отрезок $CE$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $CD$ является биссектрисой угла $\angle C$, следовательно, он делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD$.

Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $BC$ и секущую $CD$. Углы $\angle EDC$ и $\angle BCD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle EDC = \angle BCD$.

Так как $\angle ACD = \angle BCD$ (по свойству биссектрисы) и $\angle EDC = \angle BCD$ (как накрест лежащие), то мы можем заключить, что $\angle ACD = \angle EDC$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике углы при основании $CD$ равны: $\angle ECD = \angle EDC$ (поскольку $\angle ECD$ это то же самое, что и $\angle ACD$). Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $CDE$ — равнобедренный, и его боковые стороны $CE$ и $ED$ равны: $CE = ED$.

Чтобы найти $CE$, достаточно найти длину отрезка $ED$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Нам известна сторона $AE = a$ и угол $\angle DAE = \angle A = \alpha$. Найдем другие углы этого треугольника.Так как $DE \parallel BC$, то при секущей $AB$ соответственные углы $\angle ADE$ и $\angle ABC$ равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle B = \beta$.

Теперь в треугольнике $ADE$ известны сторона $AE=a$ и два угла: $\angle DAE = \alpha$ и $\angle ADE = \beta$. Применим к этому треугольнику теорему синусов:

$\frac{ED}{\sin(\angle DAE)} = \frac{AE}{\sin(\angle ADE)}$

Подставим известные значения:

$\frac{ED}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим длину стороны $ED$:

$ED = a \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Поскольку мы ранее доказали, что $CE = ED$, то:

$CE = a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

107. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $m$ и образует со сторонами $AB$ и $AC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите стороны $AB$ и $AC$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом удвоения медианы. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $AM$. По условию, $AM = m$, $\angle BAM = \alpha$, $\angle CAM = \beta$.

1. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Таким образом, $AD = 2m$. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$.

2. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой стороны $BC$ ($BM = MC$). По нашему построению, $M$ также является серединой отрезка $AD$ ($AM = MD$). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

3. Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны и параллельны. Значит, $AC = BD$ и $AC \parallel BD$.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике:

• Сторона $AD = AM + MD = m + m = 2m$.
• Угол $\angle BAD = \angle BAM = \alpha$.
• Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а $AD$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle CAM$ и $\angle BDA$ равны. Следовательно, $\angle BDA = \angle CAM = \beta$.

5. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle BDA) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

6. Теперь, зная все углы и одну сторону треугольника $ABD$, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти длины сторон $AB$ и $BD$ (которая равна $AC$).

Теорема синусов для $\triangle ABD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Так как $BD = AC$ и $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

7. Из этого равенства находим искомые стороны $AB$ и $AC$:

Из пропорции $\frac{AB}{\sin(\beta)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$ получаем:

$AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из пропорции $\frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$ получаем:

$AC = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AB = \frac{2m \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$, $AC = \frac{2m \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

108. Медиана $CD$ треугольника $ABC$ образует со сторонами $AC$ и $BC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, $BC = a$. Найдите медиану $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Продлим медиану $CD$ за точку $D$ на ее длину до точки $E$ так, что $CD = DE$. Соединим точку $E$ с вершинами $A$ и $B$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ACBE$. Его диагонали $AB$ и $CE$ пересекаются в точке $D$. По условию, $CD$ — медиана, следовательно, точка $D$ является серединой стороны $AB$ ($AD = DB$). По построению, точка $D$ также является серединой отрезка $CE$ ($CD = DE$). Так как диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $ACBE$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. В частности, $AC \parallel BE$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $CE$. Внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей равны: $\angle CEB = \angle ACE$. Поскольку луч $CE$ является продолжением отрезка $CD$, угол $\angle ACE$ совпадает с углом $\angle ACD$, который по условию равен $\alpha$. Таким образом, $\angle CEB = \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCE$. Обозначим искомую длину медианы $CD$ через $m$. Тогда сторона $CE = CD + DE = m + m = 2m$. Сторона $BC$ по условию равна $a$. Угол $\angle BCE$ совпадает с углом $\angle BCD$, который по условию равен $\beta$. Третий угол треугольника $\angle CBE$ равен $180^\circ - (\angle BCE + \angle CEB) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим к треугольнику $BCE$ теорему синусов, согласно которой отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{BC}{\sin(\angle CEB)} = \frac{CE}{\sin(\angle CBE)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, преобразуем уравнение:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого уравнения выразим искомую длину медианы $m$:

$2m \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\alpha + \beta)$

$m = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$

Таким образом, длина медианы $CD$ найдена.

Ответ: $CD = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$.

109. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников $AHB, BHC, AHC$ и $ABC$, равны.

Пусть $R_{ABC}$, $R_{AHB}$, $R_{BHC}$ и $R_{AHC}$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$, $AHB$, $BHC$ и $AHC$ соответственно. Мы докажем, что каждый из радиусов $R_{AHB}$, $R_{BHC}$ и $R_{AHC}$ равен $R_{ABC}$.

Для доказательства воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ радиус описанной окружности $R$ равен $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Точка $H$ — их точка пересечения (ортоцентр).

1. Докажем, что $R_{AHB} = R_{ABC}$

Для треугольника $ABC$ по теореме синусов имеем:

$R_{ABC} = \frac{AB}{2\sin(\angle C)}$

Теперь рассмотрим треугольник $AHB$. Его стороны — $AH$, $BH$ и $AB$. Угол, противолежащий стороне $AB$, — это $\angle AHB$. По теореме синусов для треугольника $AHB$:

$R_{AHB} = \frac{AB}{2\sin(\angle AHB)}$

Чтобы сравнить $R_{ABC}$ и $R_{AHB}$, найдем величину угла $\angle AHB$. В прямоугольном треугольнике $ABA_1$ угол $\angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ угол $\angle ABB_1 = 90^\circ - \angle A$.

Сумма углов в треугольнике $AHB$ равна $180^\circ$:

$\angle AHB = 180^\circ - \angle HAB - \angle HBA = 180^\circ - (90^\circ - \angle B) - (90^\circ - \angle A) = 180^\circ - 180^\circ + \angle A + \angle B = \angle A + \angle B$

Так как сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Следовательно, $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$.

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем, что $\sin(\angle AHB) = \sin(180^\circ - \angle C) = \sin(\angle C)$.

Подставим это в формулу для $R_{AHB}$:

$R_{AHB} = \frac{AB}{2\sin(\angle C)}$

Таким образом, мы видим, что $R_{AHB} = R_{ABC}$.

2. Докажем, что $R_{BHC} = R_{ABC}$

Аналогично, для треугольника $ABC$ имеем:

$R_{ABC} = \frac{BC}{2\sin(\angle A)}$

Для треугольника $BHC$ по теореме синусов:

$R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)}$

Найдем угол $\angle BHC$. В треугольнике $BHC$:

$\angle HBC = \angle A_1BC = 90^\circ - \angle C$

$\angle HCB = \angle B_1CB = 90^\circ - \angle B$

$\angle BHC = 180^\circ - \angle HBC - \angle HCB = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle B) = \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Тогда $\sin(\angle BHC) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$.

Подставляя в формулу для радиуса, получаем:

$R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle A)}$

Следовательно, $R_{BHC} = R_{ABC}$.

3. Докажем, что $R_{AHC} = R_{ABC}$

Для треугольника $ABC$ имеем:

$R_{ABC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)}$

Для треугольника $AHC$ по теореме синусов:

$R_{AHC} = \frac{AC}{2\sin(\angle AHC)}$

Найдем угол $\angle AHC$. В треугольнике $AHC$:

$\angle HAC = \angle C_1AC = 90^\circ - \angle C$

$\angle HCA = \angle A_1CA = 90^\circ - \angle A$

$\angle AHC = 180^\circ - \angle HAC - \angle HCA = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle A) = \angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B$.

Тогда $\sin(\angle AHC) = \sin(180^\circ - \angle B) = \sin(\angle B)$.

Подставляя в формулу для радиуса, получаем:

$R_{AHC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)}$

Следовательно, $R_{AHC} = R_{ABC}$.

Таким образом, мы доказали, что $R_{AHB} = R_{BHC} = R_{AHC} = R_{ABC}$.

Ответ: Утверждение доказано. Радиусы окружностей, описанных около треугольников $AHB$, $BHC$, $AHC$ и $ABC$, равны. Что и требовалось доказать.

110. Дороги, соединяющие сёла A, B и C (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села A в село C заасфальтирована, а дороги из села A в село B и из села B в село C — грунтовые. Дороги, ведущие из села A в сёла B и C, образуют угол $15^{\circ}$, а дороги, ведущие из села B в сёла A и C, — угол $5^{\circ}$. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села A в село B?

Рис. 22

Для того чтобы определить, какой маршрут быстрее, необходимо сравнить время в пути для каждого из возможных вариантов.

Обозначим сёла буквами A, B, C. Согласно условию, они образуют треугольник ABC. Возможны два маршрута из села А в село В:

1. Прямой маршрут по грунтовой дороге A → B.
2. Маршрут через село С: по асфальтированной дороге A → C, а затем по грунтовой дороге C → B.

Пусть $v$ — скорость движения автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость движения по асфальтированной дороге равна $2v$.

Длины дорог обозначим как $AB$, $BC$ и $AC$. Они являются сторонами треугольника ABC.

Рассчитаем время в пути для каждого маршрута:

1. Время $t_1$ для прямого маршрута A → B:

$$ t_1 = \frac{AB}{v} $$

2. Время $t_2$ для маршрута A → C → B складывается из времени движения по участкам AC и CB:

$$ t_{AC} = \frac{AC}{2v} $$

$$ t_{CB} = \frac{BC}{v} $$

$$ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{AC + 2BC}{2v} $$

Сравним время $t_1$ и $t_2$:

Чтобы сравнить $t_1 = \frac{AB}{v}$ и $t_2 = \frac{AC + 2BC}{2v}$, мы можем сравнить выражения $2v \cdot t_1$ и $2v \cdot t_2$, так как $2v > 0$. Сравниваем $2AB$ и $AC + 2BC$.

Для нахождения соотношения между сторонами треугольника ABC используем его углы и теорему синусов.

Из условия задачи известны углы:

• Угол между дорогами из А в В и из А в С: $\angle BAC = 15^\circ$.
• Угол между дорогами из В в А и из В в С: $\angle ABC = 5^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол:

$$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 15^\circ - 5^\circ = 160^\circ $$

По теореме синусов для треугольника ABC:

$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} $$

$$ \frac{AC}{\sin 5^\circ} = \frac{BC}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 160^\circ} $$

Выразим длины сторон $AC$ и $BC$ через $AB$:

$$ AC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} $$

$$ BC = AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$

Подставим эти выражения в $AC + 2BC$:

$$ AC + 2BC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} + 2 \cdot AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$

Теперь сравним $2AB$ и $AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$. Разделив обе части на $AB$ (так как $AB > 0$), сравним $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$.

Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:

$$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $$

Сравнение сводится к сравнению $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ}$, или, что то же самое, сравнению $2\sin 20^\circ$ и $\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ$.

Рассмотрим разность $2\sin 20^\circ - (\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ)$:

$$ 2\sin 20^\circ - 2\sin 15^\circ - \sin 5^\circ = 2(\sin 20^\circ - \sin 15^\circ) - \sin 5^\circ $$

Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$$ \sin 20^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos\left(\frac{20^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-15^\circ}{2}\right) = 2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) $$

Тогда разность равна:

$$ 2(2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ)) - \sin 5^\circ = 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - \sin(2 \cdot 2.5^\circ) $$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$$ 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - 2\sin(2.5^\circ)\cos(2.5^\circ) = 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) $$

Оценим знак этого выражения. Множитель $2\sin(2.5^\circ) > 0$, так как угол $2.5^\circ$ находится в первой четверти. Рассмотрим знак второго множителя $(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ))$. Функция косинуса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, поэтому $\cos(17.5^\circ) < \cos(2.5^\circ)$. Однако $2\cos(17.5^\circ) > 2\cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. А $\cos(2.5^\circ) < \cos(0^\circ) = 1$. Поскольку $1.732 > 1$, то $2\cos(17.5^\circ) > \cos(2.5^\circ)$, и следовательно, $2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ) > 0$.

Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно:

$$ 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) > 0 $$

Это означает, что:

$$ 2\sin 20^\circ > \sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ $$

Умножая обе части на положительное число $\frac{1}{\sin 20^\circ}$, получаем:

$$ 2 > \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ} $$

Возвращаясь к сравнению длин, это значит:

$$ 2AB > AC + 2BC $$

Теперь вернемся к сравнению времени:

$$ 2v \cdot t_1 > 2v \cdot t_2 \implies t_1 > t_2 $$

Время в пути по прямому маршруту A → B ($t_1$) больше, чем время в пути по маршруту A → C → B ($t_2$). Следовательно, чтобы добраться из села А в село В как можно скорее, водителю следует выбрать маршрут через село С.

Ответ: Водителю надо выбрать маршрут из села А в село В через село С (А → C → B).